Fall 1
- Erstes Glied a₁
- 2
- Quotient r
- 3
- Position des Glieds n
- 5
162,0000
Mit diesen Werten öffnenGeometrische-Folge-Rechner
162,0000
Ergebnis: 162,0000Jedes Glied ist das vorherige mal einem festen Quotienten r, also ist das n-te Glied a × r^(n − 1). Gezählt wird ab n = 1, und das erste Glied braucht keine Multiplikation — daher das Minus eins. Mit a = 2 und r = 3 ist das fünfte Glied 2 × 81 = 162.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Erstes Glied a₁
- 100
- Quotient r
- 0.5
- Position des Glieds n
- 3
25,0000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Erstes Glied a₁
- 5
- Quotient r
- -2
- Position des Glieds n
- 4
-40,0000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
aₙ = a × r^(n − 1)
- SchrittDas erste Glied eintragen — den Wert, bei dem die Folge beginnt.
- SchrittDen Quotienten eintragen: den festen Faktor jedes Schritts.
- SchrittDie gesuchte Position eintragen; n = 1 ist das erste Glied selbst.
- ErgebnisDas n-te Glied ablesen. Die Tabelle zeigt daneben die Summe.
Referenztabelle
| a, r, n | Summe der ersten n Glieder | n-tes Glied |
|---|---|---|
| 3, 1, 4 | 12 | 3 |
| 100, 0,5, 3 | 175 | 25 |
| 5, -2, 4 | -25 | -40 |
| 2, 3, 5 | 242 | 162 |
| 1, 2, 10 | 1023 | 512 |
Fragen
Was ist eine geometrische Folge?
Eine geometrische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied durch Multiplizieren des vorherigen mit einem festen Faktor — dem Quotienten r — entsteht: a, ar, ar², … Etwa 2, 6, 18, 54, … mit erstem Glied 2 und Quotient 3. Das Verhältnis zwischen zwei Nachbarn ist immer gleich.
Wie finde ich das n-te Glied?
Verwende aₙ = a × r^(n − 1), wobei a das erste Glied, r der Quotient und n die gesuchte Position ist. Für 2, 6, 18, … ist das fünfte Glied 2 × 3⁴ = 162. Der Exponent ist n − 1, weil das erste Glied null Multiplikationen mit r braucht.
Was sagt mir der Quotient?
Seine Größe bestimmt das Tempo: ein Betrag über 1 lässt die Glieder schnell wachsen (2, 6, 18, …), unter 1 schrumpfen sie gegen null (100, 50, 25, …) und genau 1 hält jedes Glied gleich dem ersten. Ein negativer Quotient wechselt bei jedem Schritt das Vorzeichen (5, −10, 20, −40, …). Das ist dieselbe Mechanik wie bei Zinseszins und Populationsmodellen.
Wie bekomme ich die Summe der ersten n Glieder?
Die Summe ist a × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), solange r nicht 1 ist, und einfach a × n, wenn r gleich 1 ist. Für a = 2, r = 3, n = 5 sind das 2 × (1 − 243) ÷ (1 − 3) = 242. Die mittlere Spalte der Tabelle oben führt diese Summe für jede Zeile.
Worin unterscheidet sich eine geometrische von einer arithmetischen Folge?
Eine geometrische Folge multipliziert in jedem Schritt mit einem konstanten Quotienten, sodass die Verhältnisse gleich sind (2, 6, 18, 54). Eine arithmetische Folge addiert eine konstante Differenz, sodass die Differenzen gleich sind (2, 5, 8, 11). Dieser Rechner nimmt die multiplikative Art.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.