Formel von Heron: Dreiecksfläche berechnen

Die Formel von Heron liefert die Fläche eines Dreiecks allein aus seinen drei Seitenlängen, ohne Höhe und ohne Winkel. Zuerst den halben Umfang s = (a + b + c) ÷ 2 bilden, dann ist die Fläche √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Sie ist nach Heron von Alexandria benannt, der sie im ersten Jahrhundert beschrieb.

Die drei Seiten addieren und die Summe halbieren, das ergibt s. Dann s mit (s − a), (s − b) und (s − c) multiplizieren und aus dem Produkt die Wurzel ziehen. Für ein 3-4-5-Dreieck ist s = 6, die Fläche also √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 Quadrateinheiten.

Die drei Längen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen: keine Seite darf so lang oder länger sein als die beiden anderen zusammen. Seiten von 1, 1 und 5 schließen sich nicht zu einem Dreieck, umschließen also nichts, und die Fläche ist null. Die längste Seite muss kürzer als die Summe der beiden anderen bleiben.

Wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind, die Höhe aber nicht — typisch beim Vermessen, im Bau und bei jedem Dreieck im Gelände, wo sich ein Lot schlecht messen lässt. Sind Grundseite und Höhe bereits bekannt, ist ½ × Grundseite × Höhe einfacher und genauso exakt.

Ja, für jedes gültige Dreieck: rechtwinklig, spitzwinklig, stumpfwinklig, ungleichseitig, gleichschenklig oder gleichseitig. Beim rechtwinkligen Dreieck stimmt sie mit ½ × Grundseite × Höhe überein, das 3-4-5-Dreieck ergibt so oder so 6.