Fall 1
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 10
- Ausgewählte Elemente (r)
- 3
120
Mit diesen Werten öffnenKombinationen-Rechner
120Kombinationen
Ergebnis: 120 KombinationenEine Kombination zählt Auswahlen, keine Reihenfolgen: Alice, Bob und Carol zu wählen ist dasselbe wie Carol, Alice und Bob. C(10, 3) = 120 Möglichkeiten, drei aus zehn zu wählen. Dieselben drei in anderer Reihenfolge wären eine Permutation — davon gibt es 720.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Gesamtzahl der Elemente (n) 10.
| Ausgewählte Elemente (r) | Ergebnis |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 10 |
| 2 | 45 |
| 3Dein Wert | 120 |
| 4 | 210 |
| 5 | 252 |
| 6 | 210 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 49
- Ausgewählte Elemente (r)
- 6
13.983.816
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 52
- Ausgewählte Elemente (r)
- 5
2.598.960
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)
- SchrittDie Größe der ganzen Menge als n eintragen — zehn Schüler, 49 Lottozahlen, 52 Karten.
- SchrittAls r eintragen, wie viele du davon nimmst; die Reihenfolge bleibt unbeachtet.
- ErgebnisDie Zahl der verschiedenen Gruppen ablesen. Mehr als vorhanden ergibt 0.
Was die Zahl bedeutet
Eine Kombination zählt Gruppen. Interessant ist selten, welche drei von zehn Leuten im Ausschuss sitzen, sondern wie viele solcher Ausschüsse es überhaupt gibt — diese Zahl setzt die Chance jedes einzelnen, und sie wächst schneller, als die Anschauung erlaubt. Am leichtesten liest sich die Formel rückwärts, als Korrektur einer einfacheren Zählung. Drei geordnete Plätze aus zehn Leuten zu besetzen ist ein glattes Produkt: zehn Bewerber für den ersten, neun für den zweiten, acht für den dritten, macht 10 × 9 × 8 = 720. Ein Ausschuss kennt aber keine Plätze, und jede Dreiergruppe taucht in diesem Produkt einmal für jede Reihenfolge auf, in der ihre Mitglieder stehen können — 3! = 6 mal. Das Teilen entfernt genau diese Doppelzählung: 720 ÷ 6 = 120. Daher stammt das r! im Nenner, und weil jede Gruppe um denselben Faktor 6 zu oft gezählt wurde, geht die Division immer glatt auf. Was die Zahl nicht leistet, ist eine Unterscheidung der Gruppen: Alle 13.983.816 Tipps 6 aus 49 sind hier eine einzige Zahl, und die sagt nichts darüber, wie irgendeiner davon zustande kam. Die praktische Grenze ist die Arithmetik — oberhalb von n = 55 kann eine übliche Computerzahl diese Koeffizienten nicht mehr Ziffer für Ziffer hinschreiben, C(56, 23) druckt sich um eins zu hoch.
Reihenfolge egal, und nichts wird zweimal gezogen
Jedes Element ist verbraucht, sobald du es nimmst, und die Reihenfolge der Züge zählt nie mit. Der Standardfall ist der Lottotipp 6 aus 49: 13.983.816 Tipps, und auf keinem steht eine Zahl zweimal.
C(n, r) ist P(n, r) geteilt durch r Fakultät
Jede Auswahl aus r Elementen lässt sich in r Fakultät Reihenfolgen bringen, deshalb ist die Kombinationszahl immer die kleinere der beiden. Drei aus zehn ergibt 120 Kombinationen gegen 720 Permutationen — genau der Faktor 3 Fakultät, also 6.
Mehr als vorhanden ergibt 0, keine Fehlermeldung
Ist r größer als n, lautet die Antwort 0, weil es eine solche Auswahl nicht gibt. Diese Null ist das richtige Ergebnis und keine verweigerte Antwort.
Häufig falsch verstanden
C(10, 3) und C(10, 7) müssen verschiedene Zahlen sein.
Wer 3 zum Behalten wählt, bestimmt zugleich die 7, die liegen bleiben — beide sind 120. Der Rechner wertet den kleineren der beiden Wege aus.
Die 120 Ausschüsse aus drei von zehn legen den Vorsitz mit fest.
C(10, 3) zählt nur Gruppen. Vorsitz, Vertretung und einfaches Mitglied zu benennen ordnet die drei und ergibt stattdessen 720.
C(5, 0) ist 0, weil nichts gewählt wurde.
Es ist 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu wählen, und genau eine, alles zu nehmen. Nur r größer als n ergibt 0.
Referenztabelle
| n, r | Gelesen als | C(n, r) |
|---|---|---|
| 0, 0 | nichts aus nichts wählen | 1 |
| 5, 0 | die leere Auswahl | 1 |
| 5, 5 | die ganze Menge nehmen | 1 |
| 10, 3 | ein Ausschuss aus drei von zehn | 120 |
| 20, 10 | die Hälfte von zwanzig | 184756 |
| 49, 6 | ein Lottotipp 6 aus 49 | 13983816 |
| 52, 5 | ein Pokerblatt aus fünf Karten | 2598960 |
Fragen
Was ist eine Kombination?
Eine Kombination ist eine Auswahl, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt — Alice, Bob, Carol ist dieselbe Wahl wie Carol, Alice, Bob. Man schreibt C(n, r), gesprochen „n über r“, und rechnet n!/(r!(n−r)!). Für 3 aus 10 sind das 120.
Wie unterscheiden sich Kombinationen von Permutationen?
Permutationen zählen Anordnungen, bei denen die Reihenfolge zählt; Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen sie das nicht tut. Jede Kombination aus r Elementen lässt sich in r Fakultät Reihenfolgen anordnen, deshalb gibt es nie weniger Permutationen als Kombinationen. 3 aus 10 ergibt 120 Kombinationen, aber 720 Permutationen.
Warum ist C(n, r) gleich C(n, n − r)?
Wenn du r Elemente zum Behalten wählst, entscheidest du zugleich, welche n − r Elemente liegen bleiben — beide Fragen haben dieselbe Antwort. Deshalb sind C(10, 3) und C(10, 7) beide 120. Dieser Rechner wertet den kleineren der beiden Wege aus.
Was sind C(n, 0) und C(n, n)?
Beide ergeben 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu wählen, und genau eine, alles zu nehmen. Verlangst du mehr Elemente als vorhanden, also r größer als n, lautet die Antwort 0, weil es eine solche Auswahl nicht gibt.
Wo werden Kombinationen gebraucht?
Überall, wo eine Gruppe ohne Rangfolge gezogen wird: Lottotipps (6 aus 49 ergibt 13.983.816), Pokerblätter (5 aus 52 ergibt 2.598.960), Ausschüsse, Pizzabeläge. Dieselben Zahlen sind die Binomialkoeffizienten des binomischen Lehrsatzes.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.