Permutationen mit Wiederholung

Jede Position behält alle n Möglichkeiten, die Anzahl ist also n mal sich selbst, r-mal. Zehn Ziffern auf vier Stellen ergeben 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 PINs; zwei Zeichen auf acht Stellen ergeben 256, also ein Byte. Ohne Wiederholung wird daraus der gewöhnliche Permutationen-Rechner.

Von den vier Zählformeln ist diese die schlichteste, und der Grund verdient es, ausgesprochen zu werden: Sie ist die einzige, die nichts zu korrigieren hat. Jede der r Positionen wird unabhängig besetzt, und weil nichts verbraucht wird, behält jede alle n Möglichkeiten. Damit greift das Produktprinzip glatt durch — n Wahlmöglichkeiten, mal n, mal n, r-mal — und das ist n^r. Die anderen drei Formeln enden alle in einer Berichtigung: ein Produkt, das schrumpft, weil Elemente aufgebraucht werden, oder eine Division, die mehrfach gezählte Reihenfolgen wieder herausnimmt. Hier wird nichts aufgebraucht, und jede Reihenfolge ist wirklich ein anderes Ergebnis, deshalb taucht nirgends eine Fakultät auf. Zehn Ziffern auf vier Stellen ergeben 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 — und das ist zugleich die schlichte Lesart einer vierstelligen PIN: die Codes 0000 bis 9999, genau zehntausend Stück. Gezählt werden Möglichkeiten, nicht Schwierigkeit. Acht druckbare ASCII-Zeichen spannen 6.634.204.312.890.625 Zeichenketten auf, aber diese Zahl beschreibt nur, wie stark ein Passwort wäre, das gleichverteilt zufällig aus dem ganzen Raum gezogen wurde. So wählen Menschen nicht, und wer angreift, geht den Raum nicht der Reihe nach durch. Die Zahl ist eine Obergrenze für den Aufwand, nie ein Maß für eine bestimmte Wahl.