Fall 1
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 10
- Angeordnete Elemente (r)
- 3
720
Mit diesen Werten öffnenPermutationen-Rechner
720Permutationen
Ergebnis: 720 PermutationenEine Permutation zählt Reihenfolgen, nicht nur Auswahlen: Alice, Bob, Carol ist etwas anderes als Carol, Alice, Bob. P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 Podestreihenfolgen aus zehn Läufern. Ohne Reihenfolge hätte dieselbe Frage nur 120 Antworten — das ist der Kombinationen-Rechner.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Gesamtzahl der Elemente (n) 10.
| Angeordnete Elemente (r) | Ergebnis |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 90 |
| 3Dein Wert | 720 |
| 4 | 5.040 |
| 5 | 30.240 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 52
- Angeordnete Elemente (r)
- 5
311.875.200
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Gesamtzahl der Elemente (n)
- 8
- Angeordnete Elemente (r)
- 3
336
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(n, r) = n! ÷ (n − r)!
- SchrittDie Größe der ganzen Menge als n eintragen — zehn Läufer, 26 Buchstaben, 52 Karten.
- SchrittAls r eintragen, wie viele Plätze du besetzt; jedes Element zählt nur einmal.
- ErgebnisDie Zahl der geordneten Anordnungen ablesen. Mehr als vorhanden ergibt 0.
Was die Zahl bedeutet
Eine Permutation zählt Anordnungen, und diese Zahl ist eine Kette schrumpfender Wahlmöglichkeiten. Das ist der ganze Gedanke hinter n! ÷ (n − r)!, das befremdlicher aussieht, als es rechnet. Besetze die Plätze nacheinander: Für den ersten stehen alle n bereit, für den zweiten nur noch n − 1, weil einer schon dort steht, für den dritten n − 2. Bei zehn Läufern und drei Podestplätzen sind das 10 × 9 × 8 = 720. Die Fakultätsform schreibt dasselbe Produkt als Bruch — n! führt die schrumpfende Kette bis auf 1 hinunter, und (n − r)! ist genau der Rest, den man nie erreicht, also kürzt ihn die Division weg. Die Sonderfälle folgen aus demselben Bild und sind keine eigenen Regeln: Bei r = n ist der Rest 0! = 1 und übrig bleibt das volle n!, weshalb P(5, 5) = 120 ist; bei r = 0 ist das leere Produkt 1. Was die Formel voraussetzt, ist, dass die n Elemente alle verschieden sind. Zwei gleiche Elemente lassen sie Anordnungen zählen, die niemand auseinanderhalten kann, und das Ergebnis fällt zu hoch aus — ein Wort mit einem doppelten Buchstaben ist der Alltagsfall. Und gezählt wird allein, wie viele Reihenfolgen es gibt, nie, welche davon wahrscheinlich ist.
Reihenfolge zählt, jedes Element kommt einmal vor
Jeder Platz wird von einem anderen Element besetzt, und zwei zu tauschen ergibt ein neues Ergebnis. Der Standardfall ist das Podest aus zehn Läufern: P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720, und niemand belegt zwei Plätze.
r absteigende Faktoren statt zweier Fakultäten
Zehn Fakultät geteilt durch sieben Fakultät kürzt alles unterhalb von 8 weg und lässt 10 × 9 × 8 = 720 übrig. Genau dieses Produkt rechnet der Rechner, deshalb entsteht nie ein zu großer Zwischenwert.
Die Zahl der Plätze endet bei 11
P(55, 12) ist das erste Ergebnis, das eine übliche Computerzahl nicht mehr Ziffer für Ziffer hinschreiben kann: sie druckt 210.152.248.122.136.300.000, während der wahre Wert auf 320.000 endet. Innerhalb des erlaubten Bereichs stimmt jede gedruckte Ziffer.
Häufig falsch verstanden
Ein Podest aus drei von zehn Läufern hat 120 Ausgänge.
Das ist die Zahl ohne Reihenfolge. Ein Podest ordnet seine drei Plätze, und jede Dreiergruppe kommt in 3 Fakultät = 6 Reihenfolgen — macht 720.
P(n, 0) ist 0, weil kein Platz besetzt wird.
Es ist 1, die eine leere Anordnung. P(n, n) ist n Fakultät, die ganze Menge in einer Reihenfolge, also ist P(5, 5) gleich 120.
Mehr Plätze als Läufer zu verlangen setzt einen eben zweimal ein.
Es ergibt 0: Ist r größer als n, gibt es keine solche Anordnung. Ein Element mehrfach zu verwenden ist eine andere Frage und ein anderer Rechner.
Referenztabelle
| n, r | Gelesen als | P(n, r) |
|---|---|---|
| 0, 0 | überhaupt nichts anordnen | 1 |
| 5, 0 | die leere Anordnung | 1 |
| 10, 1 | eines von zehn ziehen | 10 |
| 6, 2 | Erster und Zweiter aus sechs | 30 |
| 8, 3 | ein Podest aus acht Läufern | 336 |
| 10, 3 | ein Podest aus zehn Läufern | 720 |
| 5, 5 | die ganze Menge sortieren | 120 |
| 52, 5 | fünf Karten der Reihe nach gegeben | 311875200 |
Fragen
Was ist eine Permutation?
Eine Permutation ist eine Anordnung, bei der die Reihenfolge zählt — Alice, Bob, Carol ist ein anderes Ergebnis als Carol, Alice, Bob. Man schreibt P(n, r) und rechnet n!/(n−r)!. Drei aus zehn anzuordnen ergibt 720.
Wie unterscheiden sich Permutationen von Kombinationen?
Permutationen zählen Anordnungen, bei denen die Reihenfolge zählt; Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen sie das nicht tut. Jede Auswahl aus r Elementen lässt sich in r Fakultät Reihenfolgen bringen, deshalb ist die Permutationszahl immer die größere. Drei aus zehn ergibt 720 Permutationen, aber nur 120 Kombinationen.
Wie rechne ich P(10, 3) von Hand?
Multipliziere die r absteigenden Faktoren ab n: 10 × 9 × 8 = 720. Die vollen Fakultäten brauchst du nicht, denn zehn Fakultät geteilt durch sieben Fakultät kürzt alles unterhalb von 8 weg. Genau dieses Produkt nutzt der Rechner, deshalb entsteht nie ein zu großer Zwischenwert.
Was sind P(n, 0) und P(n, n)?
P(n, 0) ist 1, die eine leere Anordnung. P(n, n) ist n Fakultät, die ganze Menge in einer Reihenfolge, also ist P(5, 5) gleich 120. Verlangst du mehr Plätze als Elemente, also r größer als n, kommt 0 heraus, weil es eine solche Anordnung nicht gibt.
Warum endet r bei 11?
Weil P(55, 12) das erste Ergebnis ist, das eine übliche Computerzahl nicht mehr Ziffer für Ziffer hinschreiben kann: sie druckt 210.152.248.122.136.300.000, während der wahre Wert auf 320.000 endet. Innerhalb des erlaubten Bereichs stimmt jede gedruckte Ziffer. Größere Anordnungen brauchen beliebig genaue Arithmetik.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.