Fall 1
- Zu zerlegende Zahl
- 360
2^3 × 3^2 × 5
Mit diesen Werten öffnenPrimfaktorzerlegung-Rechner
2^3 × 3^2 × 5
Ergebnis: 2^3 × 3^2 × 5Teile immer wieder durch die kleinste passende Primzahl, bis nichts mehr übrig ist. Bei 360 sind das dreimal die 2, zweimal die 3 und einmal die 5, also 360 = 2^3 × 3^2 × 5. Jede ganze Zahl über 1 hat genau eine solche Zerlegung.
Die Zahlen auf einen Blick
| Zu zerlegende Zahl | Ergebnis |
|---|---|
| 100 | 100 |
| 200 | 200 |
| 300 | 300 |
| 360Dein Wert | 360 |
| 400 | 400 |
| 500 | 500 |
| 600 | 600 |
| 700 | 700 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Zu zerlegende Zahl
- 100
2^2 × 5^2
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Zu zerlegende Zahl
- 97
97
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … × pₖ^eₖ
- SchrittTeile durch 2, so oft es aufgeht, und zähle mit.
- SchrittWeiter mit 3, dann 5, 7 und den ungeraden Zahlen darüber.
- ErgebnisHör auf, sobald der Teiler im Quadrat den Rest übersteigt — der Rest ist prim.
Was die Zahl bedeutet
Jede ganze Zahl über 1 ist entweder prim oder ein Produkt von Primzahlen, und dieses Produkt ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik, und deshalb ist eine Zerlegung die Antwort und nicht eine unter mehreren: 360 ist 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 und sonst nichts. In Exponentform bleibt sie kurz. Drei Zweien, zwei Dreien und eine Fünf werden zu 2^3 × 3^2 × 5, wobei der Exponent zählt, wie oft diese Primzahl die Zahl teilt. Gefunden werden die Faktoren durch Probedivision. Zieh alle Zweien heraus, dann alle Dreien, dann 5, 7 und weiter durch die ungeraden Zahlen. Aufhören darfst du, sobald der Teiler im Quadrat größer ist als der Rest: Ein kleinerer Faktor wäre längst herausgezogen, also ist alles über 1, was dann noch dasteht, selbst prim. Deshalb kostet die Prüfung von 97 nur eine Handvoll Divisionen — nach 3, 5 und 7 übersteigt das Quadrat bereits 97. Die Zerlegung ist die Grundlage für vieles Weitere. Der größte gemeinsame Teiler entsteht aus den gemeinsamen Primzahlen, das kleinste gemeinsame Vielfache aus dem jeweils höheren Exponenten, und ein Bruch ist genau dann vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine Primzahl teilen.
Die Wurzel beendet die Suche
Sobald der Teiler im Quadrat den Rest übersteigt, ist Schluss. Was über 1 übrig bleibt, ist prim — ein kleinerer Faktor wäre schon herausgeteilt worden.
Der Exponent zählt Wiederholungen
2^3 heißt, dass die 2 dreimal teilt, nicht dass 2 und 3 beide Faktoren sind. 2^3 × 3^2 × 5 ist 8 × 9 × 5 = 360.
Eine Primzahl zerlegt sich in sich selbst
97 hat außer 1 und sich selbst keine Teiler, die Zerlegung lautet also schlicht 97. Genau so sagt dir der Rechner, dass die Zahl prim ist.
1 hat keine Zerlegung
Sie ist weder prim noch zusammengesetzt, und 0 ist durch alles teilbar. Deshalb beginnt die Eingabe bei 2, der kleinsten Primzahl.
Häufig falsch verstanden
1 zählt als Primfaktor jeder Zahl.
1 ist nicht prim. Ließe man sie zu, gäbe es unendlich viele Zerlegungen derselben Zahl, und die Eindeutigkeit wäre dahin.
2^3 × 3^2 heißt, die Faktoren sind 2, 3, 3 und 2.
Es heißt drei Zweien und zwei Dreien: 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Die hochgestellte Zahl ist eine Anzahl, kein Faktor.
Man muss jede Zahl bis n durchprobieren.
Teiler bis zur Wurzel reichen aus. Darüber hinaus ist jeder verbliebene Faktor selbst prim.
Referenztabelle
| Zahl | Primfaktorzerlegung | Faktoren mit Vielfachheit |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 |
| 12 | 2^2 × 3 | 3 |
| 17 | 17 | 1 |
| 36 | 2^2 × 3^2 | 4 |
| 64 | 2^6 | 6 |
| 97 | 97 | 1 |
| 100 | 2^2 × 5^2 | 4 |
| 360 | 2^3 × 3^2 × 5 | 6 |
| 1000 | 2^3 × 5^3 | 6 |
Fragen
Wie finde ich die Primfaktorzerlegung einer Zahl?
Teile durch die kleinste passende Primzahl und wiederhole das mit dem Ergebnis. Für 360: 2, 2, 2, dann 3, 3, dann 5 — das ergibt 2^3 × 3^2 × 5.
Warum ist die Zerlegung eindeutig?
Der Fundamentalsatz der Arithmetik garantiert es: Jede ganze Zahl über 1 hat bis auf die Reihenfolge genau eine Menge von Primfaktoren. Diese Eindeutigkeit macht die Zerlegung zum Vergleichswerkzeug.
Was zeigt der Rechner bei einer Primzahl?
Die Zahl selbst. 97 hat außer 1 und 97 keine Teiler, die Zerlegung lautet also 97 — und damit ist die Frage nach der Primalität beantwortet.
Warum beginnt die Eingabe bei 2?
1 ist weder prim noch zusammengesetzt und hat keine Primfaktorzerlegung, und 0 ist durch jede Zahl teilbar. Die kleinste Zahl mit einer Zerlegung ist 2, die kleinste Primzahl.
Wozu ist die Zerlegung gut?
Aus den gemeinsamen Primzahlen zweier Zahlen folgt der größte gemeinsame Teiler, aus den höheren Exponenten das kleinste gemeinsame Vielfache. Und man sieht sofort, ob sich ein Bruch noch kürzen lässt.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.