Fall 1
- Anzahl der Versuche (n)
- 10
- Anzahl der Erfolge (k)
- 5
- Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (p)
- 0.5
0,246094
Mit diesen Werten öffnenBinomialverteilung-Rechner
0,246094
Ergebnis: 0,246094Hier steht die Chance auf genau k Erfolge in n Versuchen — ein einzelner Term der Verteilung, keine laufende Summe. Fünf Mal Kopf bei zehn fairen Würfen sind 0,246094: Selbst die wahrscheinlichste Anzahl tritt in weniger als einem Viertel der Fälle ein.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Anzahl der Versuche (n) 10, Anzahl der Erfolge (k) 5.
| Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (p) | Ergebnis |
|---|---|
| 0,300000 | 0,102919 |
| 0,400000 | 0,200658 |
| 0,500000Dein Wert | 0,246094 |
| 0,600000 | 0,200658 |
| 0,700000 | 0,102919 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Anzahl der Versuche (n)
- 20
- Anzahl der Erfolge (k)
- 6
- Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (p)
- 0.3
0,191639
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Anzahl der Versuche (n)
- 12
- Anzahl der Erfolge (k)
- 4
- Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (p)
- 0.25
0,193578
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- SchrittEintragen, wie viele Versuche laufen — die Anzahl steht vorher fest.
- SchrittDie genaue Anzahl der Erfolge eintragen, nach der du fragst.
- SchrittDie Chance auf einen Erfolg in einem Versuch als Dezimalzahl eintragen.
- ErgebnisDie Wahrscheinlichkeit für genau diese Anzahl ablesen.
Was die Zahl bedeutet
Die Binomialverteilung beantwortet eine Frage nach einer Anzahl, nicht nach einer Folge: Wie wahrscheinlich sind bei n unabhängigen Versuchen mit je der Erfolgschance p genau k Erfolge? Die Formel ist das Produkt zweier Gedanken. Halte ein bestimmtes Muster fest — etwa Kopf bei den ersten fünf von zehn Würfen und Zahl bei den übrigen. Seine Wahrscheinlichkeit ist p k-mal und (1 − p) (n − k)-mal genommen, mit den voreingestellten Werten also 0,5¹⁰ = 0,0009765625. Jedes andere Muster mit fünf Mal Kopf trägt exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit, denn es enthält dieselben Faktoren, nur in anderer Reihenfolge. Übrig bleibt, die Muster zu zählen, und genau das tut der Binomialkoeffizient: C(10, 5) = 252 Möglichkeiten, welche fünf Würfe Kopf zeigen. Ausmultipliziert sind das 252 × 0,0009765625 = 0,246094. Dieser Aufbau erklärt, warum die Bedingungen kein Kleingedrucktes sind. Ein konstantes p ist es, was allen Mustern dieselbe Wahrscheinlichkeit gibt, und die Unabhängigkeit ist es, die das Multiplizieren der Faktoren überhaupt erlaubt; fehlt eines von beiden, zählt der Koeffizient Muster, die nicht mehr austauschbar sind, und das Produkt bedeutet nichts. Nie sagt das Ergebnis, welche Versuche gelungen sind oder dass k Erfolge tatsächlich eingetreten wären — nur, wie viel Wahrscheinlichkeit auf dieser einen Anzahl liegt.
Ein Binomialkoeffizient mal zwei Potenzen
C(n, k) zählt, welche der Versuche gelingen, und pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ gewichtet ein einzelnes solches Muster. Fünf Mal Kopf bei zehn fairen Würfen: 252 × 0,5¹⁰ = 0,246094.
Konstantes p und unabhängige Versuche sind Pflicht
Die Formel verlangt eine feste Anzahl Versuche, zwei Ausgänge je Versuch, dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem und keinen Einfluss der Versuche aufeinander. Ziehen ohne Zurücklegen bricht die letzten beiden Bedingungen, dort passt die hypergeometrische Verteilung.
Genau k, nie k oder mehr
Das Ergebnis ist ein einzelner Term der Verteilung, P(X = k). Für mindestens 8 Mal Kopf bei 10 Würfen addierst du P(8) + P(9) + P(10), jeweils aus derselben Formel.
Häufig falsch verstanden
P(X = 5) bei n = 10 und p = 0,5 ist die Chance auf höchstens fünf Mal Kopf.
Höchstens fünf ergibt 0,623047, genau fünf dagegen 0,246094. Dieser Rechner liefert immer den einzelnen Term.
Die wahrscheinlichste Anzahl ist die, die meistens eintritt.
Fünf Mal Kopf bei zehn fairen Würfen ist der Gipfel der Verteilung und trotzdem nur 0,246094, also weniger als ein Viertel. Wahrscheinlichster Wert heißt nicht wahrscheinlicher Wert.
Bei p = 0,9 müssten fünf von fünf Erfolgen nahe bei 0,9 liegen.
Alle fünf Versuche müssen gelingen, die Chance ist also 0,9 fünfmal hintereinander: 0,590490. Wiederholtes Multiplizieren drückt die Zahl schnell nach unten.
Referenztabelle
| n, k, p | Fall | P(X = k) |
|---|---|---|
| 10, 5, 0,5 | fünf Mal Kopf bei zehn fairen Würfen | 0,246094 |
| 10, 0, 0,5 | kein einziges Mal Kopf | 0,000977 |
| 12, 4, 0,25 | vier von zwölf bei 25 % | 0,193578 |
| 20, 6, 0,3 | sechs von zwanzig bei 30 % | 0,191639 |
| 5, 5, 0,9 | fünf von fünf bei 90 % | 0,590490 |
Fragen
Wie berechne ich eine Binomialwahrscheinlichkeit?
Multipliziere den Binomialkoeffizienten mit der Erfolgs- und der Misserfolgswahrscheinlichkeit: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Genau fünf Mal Kopf bei zehn fairen Münzwürfen sind 252 × 0,5¹⁰ = 0,246094, also etwa 24,6 %.
Liefert das genau k oder mindestens k Erfolge?
Genau k — einen einzelnen Term der Verteilung. Für mindestens k oder höchstens k addierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten: Die Chance auf mindestens 8 Mal Kopf bei 10 Würfen ist P(8) + P(9) + P(10), jeweils aus derselben Formel.
Wann darf ich die Binomialformel verwenden?
Vier Bedingungen müssen gelten: eine feste Anzahl an Versuchen, nur zwei Ausgänge je Versuch, dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch und unabhängige Versuche. Ziehst du ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit, passt die hypergeometrische Verteilung besser.
Was ist die Binomialverteilung?
Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Zahl unabhängiger Versuche mit einer gemeinsamen Erfolgswahrscheinlichkeit. Sie gilt immer dann, wenn du ein Ja-Nein-Experiment wiederholst: Münzwürfe, Freiwürfe, defekte Teile am Band.
Warum liegt das Ergebnis immer zwischen 0 und 1?
Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Anteil aller möglichen Ausgänge und kann deshalb nie unter 0 oder über 1 liegen. Mit 100 multipliziert liest sie sich als Prozentwert. Über alle k von 0 bis n summiert ergeben die Terme genau 1, denn eine dieser Anzahlen muss eintreten.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.