Fall 1
- Erfolgswahrscheinlichkeit (p)
- 0.2
- Versuch des ersten Erfolgs (k)
- 3
0,128000
Mit diesen Werten öffnenRechner für die geometrische Verteilung
0,128000
Ergebnis: 0,128000Hier geht es ums Warten, nicht ums Zählen: die Chance, dass der erste Erfolg genau auf Versuch k fällt. Bei 20 % je Versuch ist der dritte Versuch in 12,8 % der Fälle der erste Erfolg, und im Mittel wartest du 1 ÷ p = 5 Versuche.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Erfolgswahrscheinlichkeit (p)
- 0.5
- Versuch des ersten Erfolgs (k)
- 3
0,125000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Erfolgswahrscheinlichkeit (p)
- 0.1
- Versuch des ersten Erfolgs (k)
- 4
0,072900
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ × p
- SchrittDie Chance auf einen Erfolg in einem Versuch als Dezimalzahl eintragen.
- SchrittDie Versuchsnummer eintragen, auf die der erste Erfolg fallen soll.
- ErgebnisDie Wahrscheinlichkeit für genau dieses Warten ablesen.
Was die Zahl bedeutet
Gezählt werden Versuche, nicht die Misserfolge davor
k ist hier der Versuch, auf den der erste Erfolg fällt, läuft also über 1, 2, 3, … und P(X = 1) ist schlicht p. Die andere Konvention zählt die Misserfolge vor dem Erfolg und verschiebt jedes k um eins.
Genau auf Versuch k, nicht bis Versuch k
Das Ergebnis ist die Chance, dass der erste Erfolg auf genau diesen Versuch fällt und auf keinen früheren: 0,128000 bei p = 0,2 und k = 3. Irgendwann innerhalb von drei Versuchen zu treffen ist eine andere, größere Zahl.
Im Mittel wartest du 1 ÷ p Versuche
Bei p = 0,2 kommt der erste Erfolg im Schnitt im fünften Versuch, die Varianz ist (1 − p) ÷ p². Je kleiner p, desto länger das typische Warten.
p muss in jedem Versuch gleich sein
Die Formel setzt unabhängige Versuche voraus, die alle mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingen. Verändert sich p von Versuch zu Versuch, ist das hier das falsche Modell.
Häufig falsch verstanden
Bei p = 0,2 ergibt der erste Versuch 0,8 × 0,2 = 0,16.
Das ist die andere Konvention, in der k Misserfolge zählt. Hier ist k = 1 der Versuch des ersten Erfolgs selbst, also P(X = 1) = p = 0,2.
P(X = 3) = 0,128 ist die Chance auf einen Erfolg in den ersten drei Versuchen.
Es ist die Chance, dass der erste Erfolg genau auf den dritten Versuch fällt, die ersten beiden also misslingen. Ein Erfolg irgendwo in drei Versuchen ist eine größere Zahl.
Die geometrische Verteilung zählt Erfolge in einer festen Zahl von Versuchen.
Das ist die Binomialverteilung. Die geometrische legt den Erfolg auf den ersten fest und lässt die Zahl der Versuche variieren.
Referenztabelle
| p, k | Warten | P(X = k) |
|---|---|---|
| 0,2, 1 | gleich beim ersten Mal | 0,200000 |
| 0,2, 3 | 20 % je Versuch, dritter Versuch | 0,128000 |
| 0,25, 2 | zweiter Versuch bei 25 % | 0,187500 |
| 0,5, 3 | faire Münze, dritter Wurf | 0,125000 |
| 0,1, 4 | 10 % je Versuch, vierter Versuch | 0,072900 |
Fragen
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit der geometrischen Verteilung?
Verwende P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ × p, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch ist und k der Versuch, auf dem der erste Erfolg eintritt. Mit p = 0,2 und k = 3 sind das 0,8² × 0,2 = 0,128, also rund 12,8 %.
Was ist die geometrische Verteilung?
Sie ist die Verteilung der Anzahl unabhängiger Versuche bis zum ersten Erfolg, wenn jeder Versuch mit derselben Wahrscheinlichkeit p gelingt. Sie beantwortet Fragen wie: Wie wahrscheinlich fällt der erste Kopf auf den vierten Wurf, oder das erste defekte Teil auf das siebte geprüfte?
Was ist der Mittelwert der geometrischen Verteilung?
Der erwartete Versuch des ersten Erfolgs ist 1 ÷ p, bei p = 0,2 kommt der erste Erfolg also im Schnitt im fünften Versuch. Die Varianz ist (1 − p) ÷ p². Je kleiner p, desto länger das typische Warten.
Zählt der Rechner Versuche oder Misserfolge?
Es gibt zwei Konventionen, und dieser Rechner nutzt den Versuch des ersten Erfolgs, mit k = 1, 2, 3, … und P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ × p. Manche Lehrbücher zählen stattdessen die Misserfolge vor dem ersten Erfolg, was jedes k um eins verschiebt — prüfe, welche Version deine Quelle nutzt.
Wie unterscheidet sie sich von der Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung zählt, wie viele Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen auftreten. Die geometrische zählt, wie viele Versuche es bis zum ersten Erfolg braucht — hier variiert die Anzahl der Versuche. Beide setzen unabhängige Versuche mit konstantem p voraus.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.