Fall 1
- Zahl n
- 5
120
Mit diesen Werten öffnenFakultät-Rechner
Ändere einen Wert, um das Ergebnis zu aktualisieren.
120
Fakultät: 120Beispiele
Wie sich das Ergebnis ändert
Zahl n → FakultätDeine aktuellen gültigen Eingaben, mit einem Wert über den Bereich variiert.
Wie sich das Ergebnis ändert
| Zahl n | Fakultät |
|---|---|
| 4 | 24 |
| 5Dein Wert | 120 |
| 6 | 720 |
n! multipliziert jede ganze Zahl von 1 bis n, 5! sind also 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Die Zahl zählt die Anordnungen von n verschiedenen Dingen: fünf Läufer können auf 120 Arten ins Ziel kommen. Per Definition ist 0! gleich 1.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Zahl n
- 10
3.628.800
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Zahl n
- 20
2.432.902.008.176.640.000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
n! = 1 × 2 × 3 × … × n
- SchrittEine ganze Zahl von 0 bis 21 eintragen.Zahl n=5
- SchrittJede ganze Zahl von 1 bis n wird miteinander multipliziert.Zahl n=5
- ErgebnisDas Ergebnis ist zugleich die Zahl der Anordnungen von n Dingen.Zahl n=5→120
Referenztabelle
| n | Gelesen als | n! |
|---|---|---|
| 0 | die leere Anordnung | 1 |
| 1 | ein Ding, eine Reihenfolge | 1 |
| 5 | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 | 120 |
| 10 | Anordnungen von zehn Dingen | 3628800 |
| 13 | über sechs Milliarden | 6227020800 |
| 20 | über zwei Trillionen | 2432902008176640000 |
| 21 | letzter Wert, den die Anzeige exakt druckt | 51090942171709440000 |
Fragen
Was ist eine Fakultät?
Eine Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n, geschrieben n!, gesprochen „n Fakultät“ — fünf Fakultät sind also 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Sie zählt die Möglichkeiten, n verschiedene Elemente der Reihe nach anzuordnen, und taucht deshalb in Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinationen und Permutationen überall auf.
Warum ist 0! gleich 1?
Es gibt genau eine Möglichkeit, eine leere Menge anzuordnen — die leere Anordnung —, also ist die Anzahl 1 und nicht 0. Außerdem bleiben die Formeln so stimmig: Die Regel „n Fakultät = n × (n − 1) Fakultät“ macht aus eins Fakultät das Produkt 1 × null Fakultät, und das geht nur auf, wenn null Fakultät gleich 1 ist.
Was zählen Fakultäten eigentlich?
Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, n unterschiedliche Dinge in eine Reihe zu bringen. Drei Bücher haben sechs mögliche Reihenfolgen im Regal, fünf Läufer 120 mögliche Zieleinläufe.
Wie schnell wachsen Fakultäten?
Schneller als jede Exponentialfunktion. Fünf Fakultät sind nur 120, aber zehn Fakultät schon 3.628.800 und zwanzig Fakultät über 2,4 Trillionen. Jeder Schritt multipliziert mit der nächsten ganzen Zahl, deshalb explodiert der Wert.
Warum endet der Rechner bei 21!?
Die Fakultät von 18 ist die letzte im sicheren Ganzzahlbereich von JavaScript; die Fakultäten von 19 bis 22 sind als einzelne Gleitkommawerte trotzdem exakt. Der Rechner endet bei 21, weil seine aktuelle Number-Formatierung die gedruckten Endziffern der Fakultät von 22 rundet, obwohl der interne Wert exakt ist. Bei 23 weicht schon der Number-Wert vom wahren Ergebnis ab.