Fall 1
- Index n (Position)
- 10
55
Mit diesen Werten öffnenFibonacci-Rechner
55
Ergebnis: 55Jedes Glied ist die Summe der beiden davor, die Folge beginnt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Der Index zählt ab null, F(0) ist also 0 und F(10) ist 55, nicht 34. Das letzte Glied, das eine übliche Computerzahl exakt hält, ist F(78).
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Index n (Position)
- 30
832.040
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Index n (Position)
- 78
8.944.394.323.791.464
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), F(0) = 0, F(1) = 1
- SchrittDie Position n eintragen, gezählt ab null.
- SchrittDie Folge wird von 0 und 1 aus aufgebaut.
- SchrittJeder Schritt ersetzt das Paar durch den zweiten Wert und die Summe.
- ErgebnisNach n Schritten steht im ersten Wert F(n).
Referenztabelle
| Index n | Gelesen als | F(n) |
|---|---|---|
| 0 | der erste Startwert | 0 |
| 1 | der zweite Startwert | 1 |
| 2 | 0 + 1 | 1 |
| 10 | zehn Schritte nach dem nullten Glied | 55 |
| 20 | doppelt so weit, 123-mal so groß | 6765 |
| 30 | über achthunderttausend | 832040 |
| 50 | über zwölf Milliarden | 12586269025 |
| 78 | das letzte exakt gehaltene Glied | 8944394323791464 |
Fragen
Was ist die Fibonacci-Folge?
Sie beginnt mit 0 und 1, und jede Zahl danach ist die Summe der beiden davor: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Als Regel: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) mit den Startwerten F(0) = 0 und F(1) = 1.
Zählt dieser Rechner ab 0 oder ab 1?
Ab 0: F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2. Der Index ist die Position ab null, mit 10 bekommst du also F(10) = 55. In der anderen verbreiteten Zählung, in der 1 das erste Glied ist, ergäbe derselbe Index 34.
Wie hängt Fibonacci mit dem goldenen Schnitt zusammen?
Teilst du jedes Glied durch das davor, nähern sich die Verhältnisse dem goldenen Schnitt φ ≈ 1,618. So ist 55 ÷ 34 ≈ 1,6176 und 89 ÷ 55 ≈ 1,6182 — je größer die Glieder, desto näher liegt es.
Warum hört der Rechner bei F(78) auf?
Darüber werden die Glieder größer, als eine übliche Computerzahl sie exakt halten kann. F(78) = 8.944.394.323.791.464 ist das letzte ohne Rundungsfehler, deshalb endet der Rechner dort, statt Ziffern zu drucken, die er verloren hat.
Wo taucht die Folge im echten Leben auf?
In der Natur — in der Spirale eines Sonnenblumenkopfes, in der Verzweigung von Bäumen, in der Anordnung von Blättern — und überall in der Informatik in Algorithmen, Datenstrukturen und Suchverfahren. Die Verbindung zum goldenen Schnitt macht sie auch in Kunst und Design zu einem wiederkehrenden Motiv.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.