Fall 1
- Stichprobenmittel (x̄)
- 100
- Bekannte Populations-SD (σ)
- 15
- Stichprobengröße (n)
- 30
- Kritischer z-Wert (z)
- 1.96
94,6323 – 105,3677 (±5,3677)
- Obere Grenze
- 105,3677
- Fehlerspanne
- 5,3677
Konfidenzintervall-Rechner
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94,6323 – 105,3677 (±5,3677)
Konfidenzintervall: 94,6323 – 105,3677 (±5,3677)Obere Grenze: 105,3677 ; Fehlerspanne: 5,3677
- Obere Grenze
- 105,3677
- Fehlerspanne
- 5,3677
Beispiele
Bei einem Stichprobenmittel von 100, bekanntem Populations-σ = 15, n = 30 und z = 1,96 ergibt sich 94,6323 bis 105,3677 mit Fehlermarge ±5,3677. Dieses z-Intervall setzt ein bekanntes Populations-σ voraus; für eine geschätzte Stichprobenabweichung braucht man die t-Methode.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Stichprobenmittel (x̄) 100,0000, Bekannte Populations-SD (σ) 15,0000, Stichprobengröße (n) 30.
| Kritischer z-Wert (z) | Konfidenzintervall |
|---|---|
| 1,000 | 97,2614 – 102,7386 (±2,7386) |
| 1,500 | 95,8921 – 104,1079 (±4,1079) |
| 1,960Dein Wert | 94,6323 – 105,3677 (±5,3677) |
| 2,000 | 94,5228 – 105,4772 (±5,4772) |
| 2,500 | 93,1535 – 106,8465 (±6,8465) |
| 3,000 | 91,7842 – 108,2158 (±8,2158) |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Stichprobenmittel (x̄)
- 68
- Bekannte Populations-SD (σ)
- 3
- Stichprobengröße (n)
- 36
- Kritischer z-Wert (z)
- 1.96
67,02 – 68,98 (±0,98)
- Obere Grenze
- 68,9800
- Fehlerspanne
- 0,9800
Fall 3
- Stichprobenmittel (x̄)
- 1.024
- Bekannte Populations-SD (σ)
- 0.337
- Stichprobengröße (n)
- 30
- Kritischer z-Wert (z)
- 2.326
0,8809 – 1,1671 (±0,1431)
- Obere Grenze
- 1,1671
- Fehlerspanne
- 0,1431
So wird gerechnet
untere Grenze = x̄ − z × σ ÷ √n; obere = x̄ + z × σ ÷ √n
- SchrittDas Stichprobenmittel der Beobachtungen eintragen.Stichprobenmittel (x̄)=100
- SchrittDie bekannte Standardabweichung σ der Grundgesamtheit eintragen, nicht das Stichproben-s.Bekannte Populations-SD (σ)=15
- SchrittStichprobengröße und z-Wert für ein zweiseitiges Intervall eintragen: 1,645, 1,96 oder 2,576.Stichprobengröße (n)=30·Kritischer z-Wert (z)=1,96
- ErgebnisUntere und obere Grenze sowie die Fehlermarge ablesen.94,6323 – 105,3677 (±5,3677)
Dieses z-Intervall setzt bekanntes Populations-σ voraus. Stichproben-SD und Student-t-Verfahren werden nicht unterstützt.
Was die Zahl bedeutet
Die 95 % gelten dem Verfahren, nicht diesem Intervall
Bei vielfacher Wiederholung der Ziehung würden rund 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Mittelwert einschließen. Es heißt nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall liegt.
Beide Grenzen werden angezeigt
Das Ergebnis zeigt die untere und obere Grenze sowie die Fehlermarge ±E. Die Grenzen sind das Stichprobenmittel minus und plus z × σ ÷ √n.
Sicherheit wird in Breite bezahlt
Ein höheres Konfidenzniveau nutzt ein größeres z: 1,645 bei 90 %, 1,96 bei 95 %, 2,576 bei 99 %. Bei σ = 15 und n = 30 wächst die Marge dadurch von 4,5050 über 5,3677 auf 7,0547.
Bekanntes Populations-σ erforderlich
Dieses z-Intervall setzt die bekannte Standardabweichung σ der Grundgesamtheit voraus. Wird σ durch Stichproben-s geschätzt, braucht man ein t-Intervall mit n − 1 Freiheitsgraden; ein großes n macht s nicht mit σ identisch.
Häufig falsch verstanden
IrrtumEin 95-%-Intervall enthält den wahren Mittelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit.
RichtigstellungDie 95 % gehören dem Verfahren: Wiederholt man die Ziehung, fangen rund 95 % solcher Intervalle den wahren Wert ein. Dieses eine enthält ihn oder eben nicht.
IrrtumDie doppelte Stichprobe halbiert die Fehlermarge.
RichtigstellungDie Marge teilt σ durch √n, für die Hälfte braucht es also die vierfache Stichprobe. Von n = 30 auf n = 60 sinkt eine Marge von 5,3677 nur auf 3,7955.
IrrtumDie Stichprobenabweichung s kann hier einfach das Populations-σ ersetzen.
RichtigstellungDieses z-Intervall setzt ein bekanntes Populations-σ voraus. Bei unbekanntem σ und Stichproben-s nutze ein t-Intervall, das die Stichprobengröße berücksichtigt.
Referenztabelle
| Mittel, σ, n, z | Niveau | Untere bis obere Grenze |
|---|---|---|
| 68; 3; 36; 1,645 | 90 % | 67,1775 bis 68,8225 |
| 68; 3; 36; 1,96 | 95 % | 67,02 bis 68,98 |
| 1,024; 0,337; 30; 2,326 | 98 % | 0,8809 bis 1,1671 |
| 100; 15; 30; 1,96 | 95 % | 94,6323 bis 105,3677 |
Fragen
Wie berechne ich ein Konfidenzintervall?
Bestimme die Fehlermarge E = z × σ ÷ √n und ziehe sie vom Stichprobenmittel ab beziehungsweise addiere sie: Das Intervall ist x̄ ± E. Ein Mittel von 100 mit σ = 15, n = 30 und z = 1,96 ergibt eine Marge von 5,3677 und ein Intervall von 94,6323 bis 105,3677.
Welchen kritischen z-Wert sollte ich verwenden?
Der z-Wert folgt aus dem Konfidenzniveau: 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Ein höheres Niveau nutzt ein größeres z und verbreitert das Intervall — du tauschst Präzision gegen Sicherheit.
Was ist ein Konfidenzintervall?
Es ist ein Wertebereich um eine Stichprobenschätzung, der den wahren Wert der Grundgesamtheit wahrscheinlich enthält. Ein 95-%-Intervall heißt: Bei vielfacher Wiederholung der Ziehung würden rund 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Mittelwert einschließen.
Wie mache ich das Intervall enger?
Erhöhe die Stichprobengröße: Die Marge teilt σ durch √n, eine Vervierfachung der Stichprobe halbiert sie also ungefähr. Auch ein niedrigeres Konfidenzniveau oder weniger Streuung in den Daten verkleinern sie.
Wann nehme ich stattdessen einen t-Wert?
Nutze ein t-Intervall, wenn das Populations-σ unbekannt ist und du es mit Stichproben-s schätzt. Der kritische t-Wert hängt von n − 1 Freiheitsgraden ab. Dieser Rechner verwendet nur bekanntes Populations-σ und einen z-Wert.
Quellen und letzte Prüfung
- NIST — confidence interval methods
- OpenStax 8.1 — mean interval with known population sigmaFormel / Methode
Information, keine Fachberatung.