Fall 1
- Standardabweichung (SD)
- 15
- Stichprobengröße (n)
- 30
2,7386
Mit diesen Werten öffnenStandardfehler-Rechner
2,7386
Ergebnis: 2,7386Der Standardfehler sagt, wie stark ein Stichprobenmittel schwanken würde, wenn du noch einmal ziehst: Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus n. Er ist immer kleiner als die Standardabweichung und nur bei einer einzigen Beobachtung gleich groß. Eine vierfache Stichprobe halbiert ihn.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Standardabweichung (SD)
- 10
- Stichprobengröße (n)
- 25
2,0000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Standardabweichung (SD)
- 12.5
- Stichprobengröße (n)
- 64
1,5625
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
SE = SD ÷ √n
- SchrittDie Standardabweichung deiner Daten eintragen.
- SchrittEintragen, wie viele Beobachtungen die Stichprobe umfasst.
- ErgebnisDen Standardfehler ablesen — oder zurück nach SD oder n auflösen.
Was die Zahl bedeutet
Der Standardfehler beantwortet eine Frage, die eine einzelne Stichprobe nicht unmittelbar beantworten kann: Wie weit läge das Mittel einer neuen, gleich großen Stichprobe von diesem hier entfernt? Denkt man das weit genug, bilden die Mittelwerte selbst eine Verteilung — und der Standardfehler ist deren Standardabweichung. Er beschreibt die Streuung einer Größe, die man nur ein einziges Mal zu sehen bekommt. Die Formel folgt daraus, wie Mitteln wirkt: Addiert man n unabhängige Beobachtungen, addieren sich ihre Varianzen; anschließend wird die Summe durch n geteilt, sodass die Varianz des Mittelwerts n-mal kleiner ausfällt als die einer einzelnen Beobachtung. Die Wurzel daraus ist wieder eine Standardabweichung — deshalb steht im Nenner √n und nicht n. Mit den voreingestellten Werten ergibt eine Standardabweichung von 15 bei 30 Beobachtungen 15 ÷ √30 = 2,7386: Die Einzelwerte streuen um 15, das Mittel aus dreißig davon um keine 3. Was die Zahl nicht sagt, ist, wo der wahre Mittelwert liegt oder in welche Richtung diese Stichprobe ihn verfehlt hat. Sie misst die Streuung einer Schätzung, nicht deren Richtigkeit. Eine Stichprobe aus der falschen Gruppe hat einen kleinen Standardfehler und trotzdem ein falsches Mittel — eine Verzerrung kommt in der Formel gar nicht vor.
Er beschreibt den Mittelwert, nicht die Einzelwerte
Der Standardfehler sagt, wie stark ein Stichprobenmittel von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde. Wie weit die einzelnen Beobachtungen streuen, sagt die Standardabweichung — eine andere Zahl.
Genauigkeit kostet über die Wurzel
Den Standardfehler zu halbieren kostet die vierfache Stichprobe. Bei SD = 10 beträgt er 2 bei n = 25, 1 bei n = 100 und 0,5 bei n = 400.
Nie größer als die Standardabweichung
Wegen SE = SD ÷ √n kann der Standardfehler die Standardabweichung nicht übersteigen. Gleich groß sind beide nur bei n = 1, ab zwei Beobachtungen ist er echt kleiner.
Woher die 1,96 im Konfidenzintervall kommt
Ein 95-Prozent-Intervall reicht vom Mittelwert minus 1,96 Standardfehlern bis plus 1,96. Für 90 Prozent sind es 1,645 Standardfehler und für 99 Prozent 2,576.
Häufig falsch verstanden
Der Standardfehler zeigt, wie weit die Einzelwerte streuen.
Das tut die Standardabweichung. Der Standardfehler beschreibt allein das Stichprobenmittel und wie weit es beim nächsten Zug wandern würde.
Doppelte Stichprobe, halber Standardfehler.
Den Preis setzt die Wurzel. Bei SD = 10 fällt er von 2 auf 1 erst, wenn n von 25 auf 100 steigt — die vierfache Stichprobe.
Ein kleiner Standardfehler heißt, dass die Daten eng beieinanderliegen.
Meist heißt er vor allem, dass n groß ist. Bei SD = 50 und n = 2500 beträgt er 1, obwohl die Daten breit streuen.
Referenztabelle
| SD, n | Deutung | SE |
|---|---|---|
| 10, 25 | Kleine Stichprobe, mittlere Streuung | 2 |
| 10, 30 | Fünf Beobachtungen mehr, etwas enger | 1,8257 |
| 12,5, 64 | Mehr Streuung, aber vierfache Stichprobe | 1,5625 |
| 15, 100 | Hundert Beobachtungen | 1,5 |
| 20, 400 | Vierhundert Beobachtungen | 1 |
| 50, 2500 | Breite Daten, aber sehr große Stichprobe | 1 |
Fragen
Was ist der Standardfehler?
Der Standardfehler misst, wie präzise ein Stichprobenmittel den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit schätzt. Ein kleinerer Wert heißt, dass das Stichprobenmittel vermutlich nah dran liegt; ein größerer heißt mehr Unsicherheit. Berechnet wird er als Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus n.
Was unterscheidet Standardfehler und Standardabweichung?
Die Standardabweichung misst, wie weit die einzelnen Datenpunkte innerhalb einer Stichprobe streuen. Der Standardfehler misst, wie stark das Stichprobenmittel selbst von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde. Der Standardfehler ist stets der kleinere Wert, weil er zusätzlich durch die Wurzel aus n teilt.
Kann der Standardfehler größer als die Standardabweichung sein?
Nein. Da SE = SD ÷ √n gilt, kann der Standardfehler die Standardabweichung nie übersteigen. Gleich groß sind beide nur bei einer Stichprobengröße von 1; ab zwei Beobachtungen ist der Standardfehler echt kleiner.
Warum wird durch die Wurzel aus n geteilt?
Die Wurzel kommt aus dem zentralen Grenzwertsatz: Beim Mitteln von n Beobachtungen heben sich einzelne Ausschläge teilweise auf. Die Varianz des Mittelwerts sinkt proportional zu 1 ÷ n, seine Standardabweichung also proportional zu 1 ÷ √n. Deshalb musst du die Stichprobe vervierfachen, um den Standardfehler zu halbieren.
Wie wirkt die Stichprobengröße auf den Standardfehler?
Sie wirkt über eine Wurzel, nicht linear. Bei SD = 10 beträgt der Standardfehler 2 bei n = 25, 1 bei n = 100 und 0,5 bei n = 400. Jede Halbierung kostet die vierfache Stichprobe, frühe Beobachtungen bringen also weit mehr als späte.
Wie wird der Standardfehler für Konfidenzintervalle genutzt?
Ein 95-Prozent-Intervall reicht vom Mittelwert minus 1,96 Standardfehlern bis zum Mittelwert plus 1,96 Standardfehlern. Bei einem Mittel von 100 und einem Standardfehler von 5 sind das 100 ± 9,8, also 90,2 bis 109,8. Üblich sind außerdem 1,645 Standardfehler für 90 Prozent und 2,576 für 99 Prozent.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.