Fall 1
- Standardabweichung (SD)
- 15
- Stichprobengröße (n)
- 30
- Eingabemodus
- SD und Stichprobengröße
2,7386
- Anzahl der Beobachtungen
- 30
- Stichprobenmittelwert
- Aus Rohdaten verfügbar.
- Stichprobenstandardabweichung
- 15,0000
Standardfehler-Rechner
Ändere einen Wert, um das Ergebnis zu aktualisieren.
2,7386
Standardfehler des Mittelwerts: 2,7386Anzahl der Beobachtungen: 30 ; Stichprobenmittelwert: Aus Rohdaten verfügbar.; Stichprobenstandardabweichung: 15,0000
- Anzahl der Beobachtungen
- 30
- Stichprobenmittelwert
- Aus Rohdaten verfügbar.
- Stichprobenstandardabweichung
- 15,0000
Beispiele
Wie sich das Ergebnis ändert
Stichprobengröße (n) → Standardfehler des MittelwertsDeine aktuellen gültigen Eingaben, mit einem Wert über den Bereich variiert.
Wie sich das Ergebnis ändert
Festgehalten: Standardabweichung (SD) 15,0000, Eingabemodus SD und Stichprobengröße.
| Stichprobengröße (n) | Standardfehler des Mittelwerts |
|---|---|
| 20 | 3,3541 |
| 30Dein Wert | 2,7386 |
| 40 | 2,3717 |
SE = SD ÷ √n schätzt die Streuung des Stichprobenmittels. Bei positiver SD und n > 1 ist SE kleiner als SD; bei SD = 0 sind beide null. Bei fester SD halbiert die vierfache Stichprobengröße den SE. Die Formel setzt unabhängige Beobachtungen mit gleicher Varianz voraus.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Standardabweichung (SD)
- 10
- Stichprobengröße (n)
- 25
- Eingabemodus
- SD und Stichprobengröße
2,0000
- Anzahl der Beobachtungen
- 25
- Stichprobenmittelwert
- Aus Rohdaten verfügbar.
- Stichprobenstandardabweichung
- 10,0000
Fall 3
- Standardabweichung (SD)
- 12.5
- Stichprobengröße (n)
- 64
- Eingabemodus
- SD und Stichprobengröße
1,5625
- Anzahl der Beobachtungen
- 64
- Stichprobenmittelwert
- Aus Rohdaten verfügbar.
- Stichprobenstandardabweichung
- 12,5000
So wird gerechnet
SE = SD ÷ √n; Rohdaten-SD² = Σ(x − Mittelwert)² ÷ (n − 1)
- SchrittDie Standardabweichung deiner Daten eintragen.Standardabweichung (SD)=15
- SchrittEintragen, wie viele Beobachtungen die Stichprobe umfasst.
- SchrittDen Standardfehler ablesen — oder zurück nach SD oder n auflösen.
- ErgebnisOder Rohdaten und Dezimalschreibweise wählen; ab zwei Werten werden n, Mittelwert und SD lokal berechnet.Dezimalschreibweise der Rohdaten=Dezimalpunkt · Komma / Leerraum / Zeilenumbruch→2,7386
Der Rohdatenmodus nutzt Stichproben-SD mit Nenner n − 1 und mindestens zwei Werten. SEM setzt unabhängige Beobachtungen mit gemeinsamer Varianz voraus.
Was die Zahl bedeutet
Der Standardfehler beantwortet eine Frage, die eine einzelne Stichprobe nicht unmittelbar beantworten kann: Wie weit läge das Mittel einer neuen, gleich großen Stichprobe von diesem hier entfernt? Denkt man das weit genug, bilden die Mittelwerte selbst eine Verteilung — und der Standardfehler ist deren Standardabweichung. Er beschreibt die Streuung einer Größe, die man nur ein einziges Mal zu sehen bekommt.
Für n unabhängige Beobachtungen mit gleicher Varianz hat ihre Summe die n-fache Einzelvarianz. Das Teilen der Summe durch n teilt ihre Varianz durch n zum Quadrat; die Varianz des Mittelwerts ist deshalb die Einzelvarianz geteilt durch n. Die Wurzel ergibt SD geteilt durch √n.
Mit den voreingestellten Werten ergibt eine Standardabweichung von 15 bei 30 Beobachtungen 15 ÷ √30 = 2,7386: Die Einzelwerte streuen um 15, das Mittel aus dreißig davon um keine 3. Was die Zahl nicht sagt, ist, wo der wahre Mittelwert liegt oder in welche Richtung diese Stichprobe ihn verfehlt hat. Sie misst die Streuung einer Schätzung, nicht deren Richtigkeit. Eine Stichprobe aus der falschen Gruppe kann einen kleinen Standardfehler und trotzdem ein falsches Mittel haben — eine Verzerrung kommt in der Formel gar nicht vor.
Er beschreibt den Mittelwert, nicht die Einzelwerte
Der Standardfehler sagt, wie stark ein Stichprobenmittel von Stichprobe zu Stichprobe schwanken würde. Wie weit die einzelnen Beobachtungen streuen, sagt die Standardabweichung — eine andere Zahl.
Genauigkeit kostet über die Wurzel
Bei fester SD kostet das Halbieren des Standardfehlers die vierfache Stichprobe. Bei SD = 10 beträgt er 2 bei n = 25, 1 bei n = 100 und 0,5 bei n = 400.
Nie größer als die Standardabweichung
Für n ≥ 1 ist SE höchstens so groß wie SD. Bei SD = 0 sind beide für jedes erlaubte n null; bei positiver SD gilt Gleichheit bei n = 1. Das ist ein algebraischer Fall: Aus einer Beobachtung lässt sich keine Stichproben-SD schätzen.
Wann 1,96 als Faktor passt
Der Faktor 1,96 gehört zum zweiseitigen 95-Prozent-Normalintervall und ist keine allgemeine Regel. Bei geschätzter SD nutzt das übliche Intervall für unabhängige normalverteilte Beobachtungen Student-t mit n − 1 Freiheitsgraden; eine Normalnäherung braucht eine Begründung.
Häufig falsch verstanden
IrrtumDer Standardfehler zeigt, wie weit die Einzelwerte streuen.
RichtigstellungDas tut die Standardabweichung. Der Standardfehler beschreibt allein das Stichprobenmittel und wie weit es beim nächsten Zug wandern würde.
IrrtumDoppelte Stichprobe, halber Standardfehler.
RichtigstellungDen Preis setzt die Wurzel. Bei SD = 10 fällt er von 2 auf 1 erst, wenn n von 25 auf 100 steigt — die vierfache Stichprobe.
IrrtumEin kleiner Standardfehler heißt, dass die Daten eng beieinanderliegen.
RichtigstellungEin großes n kann auch bei breiter Streuung einen kleinen Standardfehler ergeben. Bei SD = 50 und n = 2500 beträgt er 1.
Referenztabelle
| SD, n | Deutung | SE |
|---|---|---|
| 10, 25 | Kleine Stichprobe, mittlere Streuung | 2 |
| 10, 30 | Fünf Beobachtungen mehr, etwas enger | 1,8257 |
| 12,5, 64 | Mehr Streuung, aber größere Stichprobe | 1,5625 |
| 15, 100 | Hundert Beobachtungen | 1,5 |
| 20, 400 | Vierhundert Beobachtungen | 1 |
| 50, 2500 | Breite Daten, aber sehr große Stichprobe | 1 |
Fragen
Was ist der Standardfehler?
Der Standardfehler beschreibt, wie das Stichprobenmittel über wiederholte Stichproben streut. SD geteilt durch √n schätzt ihn für unabhängige Beobachtungen mit gleicher Varianz. Ein kleiner Wert zeigt unter diesen Annahmen Präzision, beseitigt aber keine Stichprobenverzerrung.
Was unterscheidet Standardfehler und Standardabweichung?
SD beschreibt die Streuung der Einzelwerte; SE die Streuung des Stichprobenmittels über wiederholte Stichproben. Bei positiver SD und n > 1 ist SE kleiner als SD. Bei SD = 0 sind beide null.
Kann der Standardfehler größer als die Standardabweichung sein?
Für n ≥ 1 kann SE = SD ÷ √n eine nichtnegative SD nicht übersteigen. Gleichheit gilt bei SD = 0 oder n = 1. Die Rechnung für n = 1 benötigt eine extern vorgegebene SD, denn aus einer Beobachtung lässt sich keine Stichproben-SD schätzen.
Warum wird durch die Wurzel aus n geteilt?
Bei unabhängigen Beobachtungen mit gleicher Varianz ist die Varianz des Mittelwerts die Einzelvarianz geteilt durch n. Die Wurzel ergibt SD ÷ √n. Diese Varianzidentität benötigt keinen zentralen Grenzwertsatz; eine Normalnäherung für ein Intervall braucht zusätzliche Annahmen.
Wie wirkt die Stichprobengröße auf den Standardfehler?
Bei fester SD skaliert SE mit 1 ÷ √n. Bei SD = 10 beträgt er 2 bei n = 25, 1 bei n = 100 und 0,5 bei n = 400. Eine neue Stichprobe kann auch die geschätzte SD ändern, deshalb halten diese Vergleiche sie konstant.
Wie wird der Standardfehler für Konfidenzintervalle genutzt?
Ein zweiseitiges 95-Prozent-Normalintervall nutzt Mittelwert ± 1,96 × SE, wenn Normalmodell oder Näherung gerechtfertigt sind. Bei geschätzter SD verwendet das übliche Intervall für unabhängige normalverteilte Beobachtungen stattdessen ein Student-t-Quantil mit n − 1 Freiheitsgraden. Besonders bei kleinen Stichproben ist der Faktor deshalb nicht pauschal 1,96.
Quellen und letzte Prüfung
- MathWorld — standard error of the meanFormel / Methode
- NIST StRD — NumAcc1Messdaten
- NIST StRD — NumAcc2Messdaten
- NIST StRD — NumAcc3Messdaten
Information, keine Fachberatung.