Fall 1
- Z-Wert (Konfidenzniveau)
- 1.96
- Erwarteter Anteil (p)
- 0.5
- Fehlermarge (E)
- 0.05
384,16
Mit diesen Werten öffnenStichprobengrößen-Rechner
384,16
Ergebnis: 384,16Bei 95 % Konfidenz und fünf Punkten Marge brauchst du 384,16 Antworten — also 385, denn eine Stichprobe wird immer aufgerundet. Teuer ist die Marge: Auf drei Punkte verengt sind es 1068 Befragte, fast dreimal so viele.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Z-Wert (Konfidenzniveau)
- 1.96
- Erwarteter Anteil (p)
- 0.5
- Fehlermarge (E)
- 0.03
1.067,11
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Z-Wert (Konfidenzniveau)
- 2.576
- Erwarteter Anteil (p)
- 0.2
- Fehlermarge (E)
- 0.02
2.654,31
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
n = z² × p × (1 − p) ÷ E²
- SchrittDen z-Wert des Konfidenzniveaus eintragen: 1,645, 1,96 oder 2,576.
- SchrittDen erwarteten Anteil eintragen — ohne Schätzung 0,5.
- SchrittDie Fehlermarge eintragen, mit der du leben kannst, als Dezimalzahl.
- ErgebnisDas Ergebnis auf den nächsten ganzen Befragten aufrunden.
Was die Zahl bedeutet
Die Zahl auf dieser Seite ist ein Budget: wie viele Antworten eine Umfrage braucht, damit ihr Ergebnis genau genug ist, um es zu zitieren. Sie entsteht, indem man die Formel für die Fehlermarge umstellt. Ein an n Personen gemessener Anteil trägt die Unsicherheit √(p × (1 − p) ÷ n); das Konfidenzniveau multipliziert sie mit seinem z-Wert, und daraus wird die Marge E = z × √(p × (1 − p) ÷ n). Nach n aufgelöst wandern z und Wurzel auf die andere Seite, beides quadriert: n = z² × p × (1 − p) ÷ E². Mit den voreingestellten Werten sind das 1,96² = 3,8416, mal 0,5 × 0,5 = 0,25 also 0,9604, geteilt durch 0,05² = 0,0025 ergibt 384,16 — aufgerundet 385 Befragte. Was die Zahl nicht verspricht, ist eine gute Umfrage. Sie setzt voraus, dass jeder Befragte zufällig aus genau der Gruppe gezogen wird, über die du etwas sagen willst, und die Fehlermarge deckt allein den Zufall dieser Ziehung ab. Ausfälle, ein schiefer Auswahlrahmen, eine suggestive Frage — nichts davon steht in der Formel, und nichts davon wird kleiner, wenn n wächst. 385 Antworten von denen, die ohnehin antworten wollten, liegen nicht ±5 Punkte neben der Wahrheit; sie tragen zusätzlich eine Verzerrung, die niemand misst.
Die Größe der Grundgesamtheit steht nicht in der Formel
In n = z² × p × (1 − p) ÷ E² kommt kein Term dafür vor, wie viele Menschen die Gruppe umfasst. Es ist die Standardformel für eine unendliche oder sehr große Grundgesamtheit, und die passt auf die meisten Umfragen.
Teuer ist die Marge
Sie steht im Nenner, und zwar im Quadrat. Bei 95 % steigt der Bedarf von ±5 auf ±3 Punkte von 384,16 auf 1067,11, bei ±2,5 Punkten sind es 1536,64.
Ohne Schätzung p = 0,5 setzen
Der Term p × (1 − p) ist bei 0,5 am größten, diese Wahl liefert also die konservativste Stichprobe. Wie auch immer sich die Antworten verteilen, sie bleibt groß genug.
Immer aufrunden
Einen Bruchteil einer Person kann niemand befragen, und Abrunden ließe die Fehlermarge etwas zu groß. Aus 384,16 werden 385 Befragte.
Häufig falsch verstanden
Für eine Million Einwohner brauche ich eine viel größere Stichprobe als für zehntausend.
Die Formel enthält die Größe der Grundgesamtheit gar nicht; bei 95 % und ±5 Punkten sind es beide Male 385. Erst wenn die Stichprobe etwa 5 % der Gruppe übersteigt, senkt eine Endlichkeitskorrektur den Bedarf.
384,16 Befragte sind das Ergebnis.
Eine Stichprobe wird immer aufgerundet, es sind also 385. Abrunden ließe die Fehlermarge geringfügig zu groß.
Eine halbierte Fehlermarge kostet doppelt so viele Befragte.
E steht im Quadrat, Halbieren vervierfacht die Stichprobe. Bei 95 % und p = 0,5 braucht ±5 Punkte 384,16 und ±2,5 Punkte 1536,64.
Referenztabelle
| z, p, E | Konfidenz und Marge | Befragte |
|---|---|---|
| 1,645, 0,5, 0,05 | 90 %, ±5 Punkte | 270,60 |
| 1,96, 0,5, 0,05 | 95 %, ±5 Punkte | 384,16 |
| 2,576, 0,5, 0,05 | 99 %, ±5 Punkte | 663,58 |
| 1,96, 0,5, 0,03 | 95 %, ±3 Punkte | 1067,11 |
| 2,576, 0,2, 0,02 | 99 %, ±2 Punkte | 2654,31 |
Fragen
Wie berechne ich die Stichprobengröße?
Nutze n = z² × p × (1 − p) ÷ E², wobei z der z-Wert des Konfidenzniveaus, p der erwartete Anteil und E die Fehlermarge ist. Bei 95 % Konfidenz, p = 0,5 und einer Marge von 0,05 ergibt das 384,16, aufgerundet 385 Befragte.
Welchen z-Wert sollte ich verwenden?
Er folgt aus dem Konfidenzniveau: 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Ein höheres Niveau bedeutet ein größeres z und eine größere Stichprobe. Für Umfragen sind 95 % die übliche Wahl.
Warum wird der Anteil meist auf 0,5 gesetzt?
Der Term p × (1 − p) ist bei p = 0,5 am größten, dieser Wert liefert also die konservativste und damit größte Stichprobe. Ohne verlässliche Schätzung des wahren Anteils bleibt die Stichprobe mit 0,5 groß genug, wie auch immer sich die Antworten verteilen.
Warum runde ich die Stichprobengröße auf?
Einen Bruchteil einer Person kann niemand befragen, und Abrunden würde die Fehlermarge geringfügig zu groß lassen. Der Rechner zeigt den exakten Wert, aus 384,16 werden also 385 Befragte.
Berücksichtigt die Formel die Größe der Grundgesamtheit?
Nein. Das ist die Standardformel für eine unendliche oder sehr große Grundgesamtheit, was auf die meisten Umfragen passt. Bei einer kleinen, endlichen Grundgesamtheit kannst du anschließend eine Endlichkeitskorrektur anwenden, die den Bedarf senkt, sobald die Stichprobe etwa 5 % der Gruppe übersteigt.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.