Fall 1
- P(A) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis A
- 0.5
- P(B) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis B
- 0.4
- P(A∩B) — Wahrscheinlichkeit für beide
- 0.2
0,7000
Mit diesen Werten öffnenRechner für die Vereinigung zweier Wahrscheinlichkeiten
0,7000
Ergebnis: 0,7000Wer zwei Wahrscheinlichkeiten addiert, zählt die Überschneidung doppelt — einmal muss sie wieder weg. Ein 50-%-Ereignis und ein 40-%-Ereignis, die in 20 % der Fälle zusammenfallen, ergeben 70 % und nicht 90 %. Bei unvereinbaren Ereignissen trägst du 0 ein.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- P(A) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis A
- 0.3
- P(B) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis B
- 0.5
- P(A∩B) — Wahrscheinlichkeit für beide
- 0
0,8000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- P(A) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis A
- 0.5
- P(B) — Wahrscheinlichkeit von Ereignis B
- 0.5
- P(A∩B) — Wahrscheinlichkeit für beide
- 0.25
0,7500
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
- SchrittDie Wahrscheinlichkeit von A als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 eintragen.
- SchrittDie Wahrscheinlichkeit von B genauso eintragen.
- SchrittEintragen, wie wahrscheinlich beide zusammen sind — sonst 0.
- ErgebnisDie Chance ablesen, dass mindestens eines der beiden eintritt.
Was die Zahl bedeutet
Die Überschneidung zählt doppelt, also muss sie einmal weg
Die Ergebnisse, bei denen beide Ereignisse eintreten, gehören zu A und zu B zugleich. Die bloße Summe zählt diesen gemeinsamen Bereich doppelt; das Abziehen von P(A∩B) nimmt die Doppelzählung genau einmal heraus.
Nur unvereinbare Ereignisse bekommen eine 0
Der Abzug entfällt allein dann, wenn beide nicht zusammen eintreten können; übrig bleibt P(A∪B) = P(A) + P(B). Für 0,3 und 0,5 sind das 0,8000.
Unabhängig heißt nicht unvereinbar
Zwei unabhängige Hälften überschneiden sich sehr wohl: P(A∩B) = 0,25, die Vereinigung ist 0,7500 und nicht 1. Wer dort 0 einträgt, behauptet, die beiden könnten nie zusammen eintreten.
Widersprüchliche Eingaben werden zurückgeholt
Die Überschneidung darf den kleineren Wert von P(A) und P(B) nicht übersteigen, und die Vereinigung darf 1 nicht überschreiten. Zahlen, die das verletzen, beschreiben unmögliche Ereignisse; angezeigt wird dann der nächstgelegene gültige Wert.
Häufig falsch verstanden
P(A) = 0,5 und P(B) = 0,4 ergeben für A oder B 0,9.
Das gilt nur, wenn beide nie zusammenfallen. Bei einer Überschneidung von 0,2 ist die Vereinigung 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.
Die Überschneidung muss nur bei abhängigen Ereignissen abgezogen werden.
Sie muss immer weg, sobald beide Ereignisse zusammen eintreten können. Zwei unabhängige Hälften überschneiden sich mit 0,25, ihre Vereinigung ist 0,7500 statt 1.
Eine Vereinigung über 1 heißt einfach, dass die Ereignisse sehr wahrscheinlich sind.
Keine Wahrscheinlichkeit geht über 1, solche drei Zahlen beschreiben also unmögliche Ereignisse. P(A) = 0,7 mit P(B) = 0,6 braucht eine Überschneidung von mindestens 0,3 — damit landet die Vereinigung genau auf 1.
Referenztabelle
| P(A), P(B), P(A∩B) | Fall | P(A∪B) |
|---|---|---|
| 0,5, 0,4, 0,2 | Ereignisse mit Überschneidung | 0,7000 |
| 0,3, 0,5, 0 | unvereinbar | 0,8000 |
| 0,25, 0,15, 0,05 | kleine Überschneidung | 0,3500 |
| 0,5, 0,5, 0,25 | zwei unabhängige Hälften | 0,7500 |
| 0,7, 0,6, 0,3 | starke Überschneidung, sichere Vereinigung | 1,0000 |
Fragen
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung?
Verwende den Additionssatz P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B): Addiere die beiden Wahrscheinlichkeiten und ziehe die Chance ab, dass beide eintreten. Mit P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A∩B) = 0,2 ist die Vereinigung 0,7.
Warum wird die Überschneidung abgezogen?
Weil die Ergebnisse, bei denen beide Ereignisse eintreten, sowohl zu A als auch zu B gehören. Die bloße Summe aus P(A) und P(B) zählt diesen gemeinsamen Bereich doppelt; das Abziehen von P(A∩B) nimmt die Doppelzählung genau einmal heraus.
Was, wenn die beiden Ereignisse unvereinbar sind?
Dann können sie nicht beide eintreten, ihr Schnitt ist 0, und die Regel vereinfacht sich zu P(A∪B) = P(A) + P(B). Eine 1 oder eine 2 mit einem Würfel sind 1/6 + 1/6 = 1/3.
Was bedeutet P(A∪B)?
Es ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von A und B: die Chance, dass A eintritt, dass B eintritt oder dass beide eintreten. Umgangssprachlich ist das P(A oder B), mit einem einschließenden „oder“, das beides zugleich erlaubt.
Was, wenn meine drei Zahlen einander widersprechen?
Die Überschneidung darf den kleineren Wert von P(A) und P(B) nicht übersteigen, und die Vereinigung darf 1 nicht überschreiten. Eingaben, die das verletzen, beschreiben unmögliche Ereignisse; der Rechner zeigt dann den nächstgelegenen gültigen Wert statt einer Wahrscheinlichkeit über 1.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.