Fall 1
- Koeffizient a
- 3
- Koeffizient b
- 4
- Konstante c
- -5
- x-Koordinate des Punktes (x₀)
- 0
- y-Koordinate des Punktes (y₀)
- 0
1,000000
Mit diesen Werten öffnenAbstand Punkt–Gerade
1,000000
Ergebnis: 1,000000Die Gerade als a·x + b·y + c = 0 schreiben, den Punkt in die linke Seite einsetzen, den Betrag nehmen und durch √(a² + b²) teilen. Für 3x + 4y − 5 = 0 und den Ursprung sind das 5 ÷ 5 = 1. Eine Gerade y = mx + k wird zu a = m, b = −1, c = k.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Koeffizient a 3,0000, Koeffizient b 4,0000, Konstante c -5,0000, x-Koordinate des Punktes (x₀) 0,0000.
| y-Koordinate des Punktes (y₀) | Ergebnis |
|---|---|
| -40.000,0000 | 32.001,000000 |
| -20.000,0000 | 16.001,000000 |
| 0,0000Dein Wert | 1,000000 |
| 20.000,0000 | 15.999,000000 |
| 40.000,0000 | 31.999,000000 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Koeffizient a
- 5
- Koeffizient b
- -12
- Konstante c
- 2
- x-Koordinate des Punktes (x₀)
- 1
- y-Koordinate des Punktes (y₀)
- 1
0,384615
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Koeffizient a
- 1
- Koeffizient b
- 2
- Konstante c
- 2
- x-Koordinate des Punktes (x₀)
- -3
- y-Koordinate des Punktes (y₀)
- -4
4,024922
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)
- SchrittDie Gerade in die Form a·x + b·y + c = 0 bringen und a, b und c eintragen.
- SchrittDie Koordinaten des Punktes eintragen.
- ErgebnisDer Punkt kommt in die linke Seite; der Betrag wird durch √(a² + b²) geteilt.
Referenztabelle
| a, b, c, x₀, y₀ | Zähler ÷ Nenner | Abstand |
|---|---|---|
| 3, 4, -5, 3, -1 | 0 ÷ 5 | 0,000000 |
| 1, 1, 0, 3, -3 | 0 ÷ √2 | 0,000000 |
| 5, -12, 2, 1, 1 | 5 ÷ 13 | 0,384615 |
| 3, 4, -5, 0, 0 | 5 ÷ 5 | 1,000000 |
| 1, 2, 2, -3, -4 | 9 ÷ √5 | 4,024922 |
| 0, 1, -3, 2, 7 | 4 ÷ 1 | 4,000000 |
Fragen
Wie berechne ich den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden?
Die Gerade in der allgemeinen Form a·x + b·y + c = 0 schreiben und dann d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²) nutzen. Für die Gerade 3x + 4y − 5 = 0 und den Ursprung ergibt das |−5| ÷ √25 = 1.
Meine Gerade ist y = mx + k — wie nutze ich den Rechner?
Alles auf eine Seite bringen: m·x − y + k = 0. Also a = m, b = −1 und c = k. Die Gerade y = 2x + 1 wird damit zu a = 2, b = −1, c = 1.
Was bedeutet hier der senkrechte Abstand?
Es ist der kürzeste geradlinige Abstand zwischen Punkt und Gerade, gemessen entlang einer Strecke, die die Gerade im rechten Winkel trifft. Jeder andere Weg vom Punkt zur Geraden ist länger.
Warum verwendet die Formel den Betrag?
Weil ein Abstand nie negativ ist. Der Ausdruck a·x₀ + b·y₀ + c fällt positiv oder negativ aus, je nachdem auf welcher Seite der Geraden der Punkt liegt, und der Betrag entfernt das Vorzeichen. Wer die Seite braucht, prüft es vorher.
Was passiert, wenn a und b beide null sind?
Dann beschreibt a·x + b·y + c = 0 keine Gerade, und der Nenner √(a² + b²) wird null — der Abstand ist undefiniert. Mindestens einer der beiden Werte muss ungleich null sein, sonst zeigt der Rechner kein Ergebnis.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.