Fall 1
- x₁ (erster Punkt)
- 1
- y₁ (erster Punkt)
- 2
- x₂ (zweiter Punkt)
- 3
- y₂ (zweiter Punkt)
- 6
y = 2x
Mit diesen Werten öffnenGeradengleichung aus zwei Punkten
y = 2x
Ergebnis: y = 2xHöhenunterschied durch Schrittweite: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), danach den Achsenabschnitt aus einem Punkt mit b = y₁ − m·x₁. Durch (1, 2) und (3, 6) ergibt das m = 2 und b = 0, also y = 2x. Zwei Punkte mit gleichem x ergeben eine senkrechte Gerade ohne Steigung.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: x₁ (erster Punkt) 1,0000, y₁ (erster Punkt) 2,0000, x₂ (zweiter Punkt) 3,0000.
| y₂ (zweiter Punkt) | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | -1,000000 |
| 2,0000 | 0,000000 |
| 4,0000 | 1,000000 |
| 6,0000Dein Wert | 2,000000 |
| 8,0000 | 3,000000 |
| 10,0000 | 4,000000 |
| 12,0000 | 5,000000 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- x₁ (erster Punkt)
- 0
- y₁ (erster Punkt)
- 5
- x₂ (zweiter Punkt)
- 2
- y₂ (zweiter Punkt)
- 1
y = −2x + 5
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- x₁ (erster Punkt)
- -2
- y₁ (erster Punkt)
- 3
- x₂ (zweiter Punkt)
- 2
- y₂ (zweiter Punkt)
- -5
y = −2x − 1
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), b = y₁ − m·x₁
- SchrittDie Koordinaten des ersten Punktes eintragen, dann die des zweiten.
- SchrittDie Steigung ist Höhenunterschied durch Schrittweite: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- SchrittDer Achsenabschnitt folgt aus einem der Punkte: b = y₁ − m·x₁.
- ErgebnisBeides in y = m·x + b einsetzen — fertig ist die Geradengleichung.
Was die Zahl bedeutet
Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest, und y = m·x + b ist die übliche Schreibweise dafür. Die Steigung m ist der Höhenunterschied geteilt durch die Schrittweite, (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁): eine positive Steigung klettert von links nach rechts, eine negative fällt, und eine Steigung von null ist eine waagerechte Gerade. Je größer der Betrag, desto steiler die Gerade. Steht m fest, folgt der y-Achsenabschnitt aus einem der beiden Punkte, denn beide liegen auf der Geraden: b = y₁ − m·x₁. Das ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle — beim Tauschen wechseln Höhenunterschied und Schrittweite gemeinsam das Vorzeichen, der Quotient bleibt gleich. Ein Fall hat in dieser Form keine Antwort. Haben beide Punkte denselben x-Wert, ist die Schrittweite null, die Division nicht definiert und die Gerade senkrecht. Eine senkrechte Gerade schreibt man als x = konstant, und diese Seite zeigt dann kein Ergebnis statt einer erfundenen Zahl. Zwei identische Punkte sind die zweite Lücke: ein einzelner Punkt legt gar keine Gerade fest.
Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung
Ist x₂ gleich x₁, ist die Schrittweite null und die Steigung nicht definiert — die Seite zeigt dann kein Ergebnis. Eine solche Gerade heißt x = konstant, nicht y = m·x + b.
Die Reihenfolge der Punkte ist frei
Beim Tauschen wechseln Höhenunterschied und Schrittweite beide das Vorzeichen. Der Quotient und damit die Gleichung bleiben identisch.
Probe mit dem zweiten Punkt
Setze x₂ in die fertige Gleichung ein — heraus muss y₂ kommen. Ein Vorzeichenfehler im Achsenabschnitt fällt so sofort auf.
Häufig falsch verstanden
Die Steigung ist (x₂ − x₁) ÷ (y₂ − y₁).
Es ist andersherum: Höhenunterschied durch Schrittweite, (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Vertauscht ergibt sich der Kehrwert.
Steigung null und undefinierte Steigung sind dasselbe.
Steigung null ist eine waagerechte Gerade, y = b. Undefiniert ist eine senkrechte Gerade, x = konstant, und hat keine Form y = m·x + b.
b ist der x-Wert, bei dem die Gerade eine Achse trifft.
b ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, erreicht bei x = 0.
Referenztabelle
| Erster Punkt | Zweiter Punkt | Steigung m | Gleichung |
|---|---|---|---|
| (1, 2) | (3, 6) | 2 | y = 2x |
| (0, 0) | (1, 1) | 1 | y = x |
| (0, 0) | (4, 2) | 0,5 | y = 0,5x |
| (0, 5) | (2, 1) | −2 | y = −2x + 5 |
| (−2, 3) | (2, −5) | −2 | y = −2x − 1 |
Fragen
Wie finde ich die Geradengleichung aus zwei Punkten?
Zuerst die Steigung, m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), dann den Achsenabschnitt, b = y₁ − m·x₁, und das Ergebnis als y = m·x + b schreiben. Für (1, 2) und (3, 6) sind das m = 2 und b = 0, also y = 2x.
Was ist die Form y = m·x + b?
Sie schreibt eine Gerade mit m als Steigung und b als y-Achsenabschnitt. Beide Kennzahlen lassen sich direkt aus der Gleichung ablesen, weshalb das die gebräuchlichste Schreibweise für eine Gerade ist.
Was sagt mir die Steigung?
Die Steigung ist die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x — Höhenunterschied je Schritt. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und null ist eine waagerechte Gerade.
Warum hat eine senkrechte Gerade keine solche Gleichung?
Beide Punkte haben denselben x-Wert, x₂ − x₁ ist also null und die Division dadurch lässt die Steigung undefiniert. Eine senkrechte Gerade schreibt man als x = konstant, und diese Seite liefert bei gleichen x-Werten kein Ergebnis.
Kann ich negative oder dezimale Koordinaten verwenden?
Ja, jede Koordinate akzeptiert negative Werte und Dezimalzahlen. Punkte wie (−2, 3) oder (1,5, 4,25) funktionieren problemlos; die einzige Bedingung ist, dass sich die zwei x-Werte unterscheiden.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.