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x = 2, y = 1
Lösung: x = 2, y = 1Beide Gleichungen als a·x + b·y = c schreiben. Die Determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ entscheidet, ob es eine eindeutige Lösung gibt; ist sie ungleich null, gilt x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D und y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D. Für 2x + y = 5 und x − y = 1 ergibt das x = 2 und y = 1.
Festgehalten: Gleichung 1 — Koeffizient von x (a₁) 2,0000, Gleichung 1 — Koeffizient von y (b₁) 1,0000, Gleichung 1 — rechte Seite (c₁) 5,0000, Gleichung 2 — Koeffizient von x (a₂) 1,0000, Gleichung 2 — Koeffizient von y (b₂) -1,0000.
| Gleichung 2 — rechte Seite (c₂) | Lösung |
|---|---|
| 0,0000 | x = 1,666667, y = 1,666667 |
| 0,2500 | x = 1,75, y = 1,5 |
| 0,5000 | x = 1,833333, y = 1,333333 |
| 0,7500 | x = 1,916667, y = 1,166667 |
| 1,0000Dein Wert | x = 2, y = 1 |
| 1,2500 | x = 2,083333, y = 0,833333 |
| 1,5000 | x = 2,166667, y = 0,666667 |
| 1,7500 | x = 2,25, y = 0,5 |
| 2,0000 | x = 2,333333, y = 0,333333 |
x = 2, y = 1
Mit diesen Werten öffnenx = 1,8, y = 0,8
Mit diesen Werten öffnenx = 1, y = 1
Mit diesen Werten öffnenx = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ D, y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ D, D = a₁b₂ − a₂b₁
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten beschreiben zwei Geraden, und das System zu lösen heißt, ihren Schnittpunkt zu finden. Die cramersche Regel tut das mit Determinanten: Im Nenner steht immer D = a₁·b₂ − a₂·b₁, gebildet aus den vier Koeffizienten der linken Seiten. Jede Unbekannte ist dann ein Verhältnis zweier Determinanten — im Zähler steht D, in dem die Spalte dieser Variablen durch die rechten Seiten c₁ und c₂ ersetzt wurde.
Also x = (c₁·b₂ − c₂·b₁) ÷ D und y = (a₁·c₂ − a₂·c₁) ÷ D. Die Regel greift bei jedem System, dessen Determinante nicht null ist, gleich wie unschön die Zahlen sind, und braucht keine Umformungsschritte. Ist D null, haben die beiden Geraden dieselbe Richtung.
Entweder sind sie parallel und treffen sich nie, dann gibt es gar keine Lösung, oder sie sind dieselbe Gerade und jeder Punkt darauf ist eine Lösung — unendlich viele. Die cramersche Regel kann beide Fälle nicht trennen und nicht durch null teilen, deshalb zeigt diese Seite dann kein Ergebnis statt einer Zahl. Koeffizienten dürfen negativ, dezimal oder null sein; eine Null heißt einfach, dass die Variable in dieser Gleichung fehlt.
Ist a₁·b₂ gleich a₂·b₁, sind die beiden Geraden parallel oder identisch. Dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen, und die Seite zeigt kein Ergebnis.
Eine Null heißt nur, dass die Variable in dieser Gleichung fehlt, wie bei 0x + 1y = 4. Erst eine Determinante von null blockiert die Rechnung.
Setze x und y in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Für x = 2, y = 1 in 2x + y = 5 und x − y = 1 stimmen beide Seiten, die Lösung hält also.
IrrtumEine Determinante von null heißt, das System hat keine Lösung.
RichtigstellungEs hat keine EINDEUTIGE Lösung. Parallele Geraden haben gar keine, identische unendlich viele, und die Determinante allein trennt beides nicht.
IrrtumDie rechten Seiten gehören in die Determinante D.
RichtigstellungIn D stehen nur die vier Koeffizienten der linken Seiten, a₁b₂ − a₂b₁. Die Werte c₁ und c₂ tauchen ausschließlich in den Zählern auf.
IrrtumDie beiden Gleichungen darf man in beliebiger Anordnung eintragen.
RichtigstellungBeide müssen zuerst in der Form a·x + b·y = c stehen, mit den Unbekannten links und der Konstanten rechts.
| Gleichung 1 | Gleichung 2 | D | Lösung |
|---|---|---|---|
| 2x + y = 5 | x − y = 1 | −3 | x = 2, y = 1 |
| x + y = 3 | x − y = 1 | −2 | x = 2, y = 1 |
| −2x + 3y = 1 | 4x − y = 2 | −10 | x = 0,7, y = 0,8 |
| 3x + 2y = 7 | x − y = 1 | −5 | x = 1,8, y = 0,8 |
| 5x + 7y = 12 | 3x − 2y = 1 | −31 | x = 1, y = 1 |
| y = 4 | x = 2 | −1 | x = 2, y = 4 |
| 2x + y = 5 | 4x + 2y = 3 | 0 | keine eindeutige Lösung |
Beide Gleichungen als a·x + b·y = c schreiben und die cramersche Regel anwenden. Berechne D = a₁·b₂ − a₂·b₁, dann x = (c₁·b₂ − c₂·b₁) ÷ D und y = (a₁·c₂ − a₂·c₁) ÷ D; für 2x + y = 5 und x − y = 1 ergibt das x = 2 und y = 1.
Sie ist eine Formel, die ein lineares Gleichungssystem mit Determinanten löst. Jede Unbekannte ist ein Verhältnis zweier Determinanten: unten die Koeffizientendeterminante D, oben dieselbe Determinante mit der Spalte der Variablen ersetzt durch die rechten Seiten.
Die beiden Geraden sind parallel oder identisch, es gibt also entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Die cramersche Regel kann nicht durch null teilen, deshalb liefert diese Seite dann kein Ergebnis.
Ja, alle sechs dürfen negativ, null oder dezimal sein. Ein Koeffizient von null heißt nur, dass die Variable in dieser Gleichung fehlt; erst eine Determinante von null stoppt die Rechnung.
Sie sind die eindeutigen Werte, die beide Gleichungen zugleich erfüllen. Geometrisch ist jede Gleichung eine Gerade, und das Paar (x, y) ist der einzige Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden.
Setze x und y in beide ursprünglichen Gleichungen ein und vergleiche beide Seiten. Für x = 2 und y = 1: 2·2 + 1 = 5 und 2 − 1 = 1, beides stimmt.
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