Fall 1
- Erster Punkt x (x₁)
- 0
- Erster Punkt y (y₁)
- 0
- Zweiter Punkt x (x₂)
- 10
- Zweiter Punkt y (y₂)
- 100
- Gesuchte Stelle x
- 5
50,0000
Mit diesen Werten öffnenRechner für lineare Interpolation
50,0000
Ergebnis: 50,0000Zwei bekannte Punkte legen eine Gerade fest, und die lineare Interpolation liest das y dieser Geraden an der gesuchten Stelle x ab. Zwischen (0, 0) und (10, 100) ist der Wert bei x = 5 gleich 50 — halb hinüber, halb hinauf. Außerhalb der beiden Punkte wird dieselbe Gerade verlängert; das ist Extrapolation.
Die Zahlen auf einen Blick
Festgehalten: Erster Punkt x (x₁) 0,0000, Erster Punkt y (y₁) 0,0000, Zweiter Punkt x (x₂) 10,0000, Zweiter Punkt y (y₂) 100,0000.
| Gesuchte Stelle x | Ergebnis |
|---|---|
| 0,0000 | 0,0000 |
| 2,0000 | 20,0000 |
| 4,0000 | 40,0000 |
| 5,0000Dein Wert | 50,0000 |
| 6,0000 | 60,0000 |
| 8,0000 | 80,0000 |
| 10,0000 | 100,0000 |
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Erster Punkt x (x₁)
- 10
- Erster Punkt y (y₁)
- 100
- Zweiter Punkt x (x₂)
- 20
- Zweiter Punkt y (y₂)
- 50
- Gesuchte Stelle x
- 12
90,0000
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Erster Punkt x (x₁)
- -2
- Erster Punkt y (y₁)
- 4
- Zweiter Punkt x (x₂)
- 2
- Zweiter Punkt y (y₂)
- -4
- Gesuchte Stelle x
- 1
-2,0000
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- SchrittTrage die zwei bekannten Punkte paarweise ein: x₁ mit y₁, x₂ mit y₂.
- SchrittTrage das x ein, für das du einen Wert brauchst — es darf auch außerhalb liegen.
- ErgebnisLies y auf der Geraden durch die beiden Punkte an dieser Stelle ab.
Referenztabelle
| x₁, y₁, x₂, y₂, x | Lage der Abfrage | y |
|---|---|---|
| 0, 0, 10, 100, 5 | genau dazwischen | 50 |
| 1, 2, 3, 6, 2 | genau dazwischen | 4 |
| 10, 100, 20, 50, 12 | innen, fallende Gerade | 90 |
| -5, -10, 5, 10, 0 | im Ursprung | 0 |
| -2, 4, 2, -4, 1 | innen, negatives Gebiet | -2 |
| 0, 0, 10, 100, 15 | hinter x₂ — extrapoliert | 150 |
Fragen
Wie berechne ich die lineare Interpolation?
Nutze y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Setze deine zwei bekannten Punkte und das gesuchte x ein. Zwischen (0, 0) und (10, 100) ist der Wert bei x = 5 gleich 0 + 5 × 100 ÷ 10 = 50.
Was ist lineare Interpolation?
Sie schätzt einen unbekannten Wert zwischen zwei bekannten Punkten, indem sie annimmt, dass eine Gerade sie verbindet. Sie liest das y dieser Geraden an der gewählten Stelle ab und ist damit das übliche Mittel, um Lücken in Tabellen und Messreihen zu füllen.
Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?
Die Interpolation schätzt einen Wert innerhalb des Bereichs der bekannten Punkte, also x zwischen x₁ und x₂. Die Extrapolation schätzt einen außerhalb. Der Rechner kann beides, doch die Extrapolation ist deutlich unzuverlässiger, weil die Annahme einer Geraden jenseits der Daten oft nicht mehr gilt.
Dürfen die Koordinaten null oder negativ sein?
Ja. Jeder Wert von x₁, y₁, x₂, y₂ und x darf null oder negativ sein, die Formel bleibt dieselbe. Nur x₂ darf nicht gleich x₁ sein, sonst steht die Strecke senkrecht und die Steigung ist nicht definiert.
Wie genau ist die lineare Interpolation?
Sie ist exakt, wenn der wahre Zusammenhang zwischen den beiden Punkten wirklich eine Gerade ist. Krümmt er sich, ist das Ergebnis eine Näherung; ihr Fehler wächst mit der Krümmung und schrumpft, je näher die bekannten Punkte beieinanderliegen.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.