Fall 1
- Prior P(A)
- 0.01
- Likelihood P(B|A)
- 0.9
- Likelihood P(B|¬A)
- 0.05
0,153846
Mit diesen Werten öffnenSatz-von-Bayes-Rechner
0,153846
Ergebnis: 0,153846Der Satz von Bayes macht aus einer Annahme vor der Evidenz eine Annahme danach. Überraschend ist das Gewicht des Priors: Bei 1 % Vorab-Chance liegt die Posterior nach einem Test, der 90 % der Fälle erkennt und in 5 % falschen Alarm schlägt, bei 15 % — nicht bei 90 %.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Prior P(A)
- 0.3
- Likelihood P(B|A)
- 0.95
- Likelihood P(B|¬A)
- 0.05
0,890625
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Prior P(A)
- 0.001
- Likelihood P(B|A)
- 0.99
- Likelihood P(B|¬A)
- 0.01
0,090164
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
P(A|B) = P(B|A)·P(A) ÷ [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1 − P(A))]
- SchrittDen Prior P(A) eintragen — wie wahrscheinlich A vor jeder Evidenz ist.
- SchrittP(B|A) eintragen, die Chance auf die Evidenz, wenn A wahr ist.
- SchrittP(B|¬A) eintragen, die Chance auf dieselbe Evidenz, wenn A falsch ist.
- ErgebnisDie Posterior P(A|B) ablesen, die Annahme nach der Evidenz.
Was die Zahl bedeutet
Der Satz von Bayes beantwortet die Frage, die ein Testergebnis aufwirft, selbst aber offenlässt: Wie wahrscheinlich ist der Fall, wenn der Test positiv ausfällt? Der Rechner kommt dorthin, indem er zwei Gruppen gegeneinander abwägt. Mit den voreingestellten Werten: Ein Prior von 0,01 heißt, dass einer von hundert betroffen ist; eine Likelihood von 0,9 heißt, dass neun von zehn Betroffenen positiv testen. Unter zehntausend Menschen sind das 100 Betroffene, von denen 90 positiv testen. Die übrigen 9.900 sind nicht betroffen, und eine Falsch-positiv-Rate von 0,05 stellt 495 von ihnen ebenfalls in die positive Spalte. Der Nenner der Formel ist nichts anderes als die Summe dieser beiden Ströme — 90 + 495 = 585 positive Ergebnisse insgesamt — und die Posterior ist der echte Anteil daran: 90 ÷ 585 = 0,153846. Was der Rechner nie prüft, ist, woher der Prior stammt. Der Satz ist eine Aktualisierungsregel und keine Quelle für Überzeugungen: Wer einen gegriffenen Prior einträgt, bekommt eine Posterior derselben Güte zurück, sauber auf sechs Nachkommastellen. Und er wägt genau zwei Hypothesen gegen genau eine Evidenz ab. Eine dritte Möglichkeit oder ein zweiter Test, dessen Ergebnis am ersten hängt, brauchen mehr als diese Seite.
P(A|B) ist nicht P(B|A)
Dass ein Test 90 % der Fälle erkennt, ist P(B|A). Was ein positives Ergebnis wert ist, ist P(A|B) — bei einem Prior von 0,01 und 5 % Fehlalarm sind das 0,153846.
Die Basisrate trägt das meiste Gewicht
Ist der Prior klein, stammt der Großteil der positiven Evidenz aus der viel größeren Gruppe, in der A falsch ist. Ein Prior von 0,001 mit einer Likelihood von 0,99 und 0,01 Fehlalarm landet trotzdem bei 0,090164.
Der Prior entscheidet, was die Evidenz einbringt
Bei einem Prior von 0,01 ergeben eine Likelihood von 0,9 und 0,05 Fehlalarm 0,153846. Bei einem Prior von 0,3 ergeben eine Likelihood von 0,95 und dieselben 0,05 dann 0,890625.
Ein Prior von 0 oder 1 bewegt sich nie
Null mal jede Likelihood bleibt null, keine Evidenz holt eine ausgeschlossene Hypothese zurück. Ein Prior von 1 bleibt aus demselben Grund 1.
Häufig falsch verstanden
Der Test erkennt 90 % der Fälle, also bin ich bei einem positiven Ergebnis zu 90 % betroffen.
Das sind zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten: 90 % ist P(B|A), gefragt ist P(A|B). Bei einem Prior von 0,01 und 5 % Fehlalarm sind es 0,153846.
Bei einem guten Test spielt die Ausgangswahrscheinlichkeit kaum eine Rolle.
Sie ist meist der stärkste Hebel. Ein Prior von 0,001 mit einer Likelihood von 0,99 und 0,01 Fehlalarm ergibt 0,090164 — keine zehn Prozent, trotz ausgezeichnetem Test.
Eine Posterior von 0,154 zeigt, dass der Test schlecht ist.
Der Test tut, was er soll; den Rest tut die Basisrate. Die meisten positiven Ergebnisse stammen aus den 99 % der Fälle, in denen A falsch ist.
Referenztabelle
| Prior, P(B|A), P(B|¬A) | Lage | Posterior |
|---|---|---|
| 0,01, 0,9, 0,05 | seltener Fall, ordentlicher Test | 0,153846 |
| 0,001, 0,99, 0,01 | sehr selten, ausgezeichneter Test | 0,090164 |
| 0,1, 0,8, 0,2 | eher selten, mittelmäßiger Test | 0,307692 |
| 0,3, 0,95, 0,05 | häufig, ausgezeichneter Test | 0,890625 |
| 0,5, 0,9, 0,1 | Prior wie ein Münzwurf | 0,900000 |
Fragen
Wie wende ich den Satz von Bayes an?
Multipliziere die Likelihood der Evidenz gegeben A mit dem Prior von A und teile durch die Gesamtwahrscheinlichkeit dieser Evidenz. Trage die drei Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 ein, und der Rechner liefert die Posterior P(A|B).
Was ist die Posterior-Wahrscheinlichkeit?
Die Posterior P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A, nachdem die Evidenz B beobachtet wurde. Sie aktualisiert den Prior P(A) damit, wie wahrscheinlich die Evidenz ist, wenn A wahr ist, verglichen mit dem Fall, dass A falsch ist.
Warum ist die Posterior so niedrig, obwohl die Evidenz stark ist?
Das ist der Basisraten-Effekt. Ist der Prior klein, stammt der Großteil der positiven Evidenz aus der viel größeren Gruppe, in der A falsch ist, sodass selbst ein hohes P(B|A) die Posterior gering hält. Ein Prior von 0,01 mit einer Likelihood von 0,9 und einer Falsch-positiv-Rate von 0,05 ergibt rund 0,154.
Welche Eingaben braucht der Rechner?
Drei Wahrscheinlichkeiten, jeweils eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1: den Prior P(A), die Likelihood P(B|A) — die Richtig-positiv-Rate — und die Likelihood P(B|¬A), die Falsch-positiv-Rate. Das Komplement P(¬A) = 1 − P(A) wird für dich berechnet.
Wann gibt es gar kein Ergebnis?
Nur wenn die Evidenz unter beiden Hypothesen unmöglich ist; dann ist der Nenner null und die Posterior nicht definiert. Der Rechner zeigt dort null, denn ein Ereignis, das nie eintritt, aktualisiert nichts.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.