Fall 1
- Große Halbachse
- 149600000000m
- Masse des Zentralkörpers
- 198900010²⁴ kg
31.554.187,748s
Mit diesen Werten öffnenUmlaufzeit-Rechner
31.554.187,748s
Ergebnis: 31.554.187,748 sDas dritte keplersche Gesetz liefert die Dauer eines vollen Umlaufs: T = 2π × √(a³ / (G × M)). Die Erde braucht bei 1,496e11 m Abstand zur Sonne 31554188 Sekunden, also 365,21 Tage. Trag die große Halbachse in Metern ein und die Zentralmasse in 10²⁴ kg — die Sonne ist 1989000.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Große Halbachse
- 384400000m
- Masse des Zentralkörpers
- 5.97210²⁴ kg
2.371.877,064s
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Große Halbachse
- 42200000m
- Masse des Zentralkörpers
- 5.97210²⁴ kg
86.275,162s
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
T = 2π × √(a³ ÷ (G × M))
- SchrittDie große Halbachse in Metern eintragen — beim Kreis der Bahnradius.
- SchrittDie Zentralmasse in 10²⁴ kg eintragen: die Sonne ist 1989000.
- ErgebnisDie Umlaufzeit in Sekunden ablesen; geteilt durch 86400 sind es Tage.
Was die Zahl bedeutet
Die 3/2-Potenz, keine Gerade
Das dritte keplersche Gesetz setzt die große Halbachse in die 3/2-Potenz, eine doppelt so weite Bahn dauert deshalb rund das 2,83-Fache und nicht das Doppelte. Jupiter kreist 5,2-mal weiter außen als die Erde und braucht 4331,27 Tage gegenüber ihren 365,21.
Meter hinein, 10²⁴ kg, Sekunden heraus
Die Sonne trägst du als 1989000 ein und die Erde als 5,972, genau wie die Planetentabellen die Massen führen. Die große Halbachse bleibt in schlichten Metern, die Umlaufzeit kommt in Sekunden heraus. Für Tage durch 86400 teilen: die 31554187,747615 s der Erde sind 365,21 Tage.
Die eigene Masse des Umlaufenden fällt weg
Solange der umlaufende Körper viel leichter ist als der zentrale, hängt die Umlaufzeit allein an Halbachse und Zentralmasse. Ein kleiner und ein großer Satellit in derselben Höhe kommen gleich schnell herum.
G ist gemessen, der Tag ist definiert
Gerechnet wird mit G = 6,6743e-11 m³·kg⁻¹·s⁻², dem CODATA-Wert mit einer relativen Unsicherheit von 2,2e-5 — die unsicherste Größe der ganzen Formel. Die 86400 Sekunden je Tag hinter der Referenzspalte sind dagegen festgelegt und tragen überhaupt keine Unsicherheit.
Häufig falsch verstanden
Doppelte große Halbachse verdoppelt die Umlaufzeit.
Sie multipliziert die Umlaufzeit mit rund 2,83, weil die Halbachse in der 3/2-Potenz steht. Vierfache Halbachse heißt achtfache Umlaufzeit.
Die Sonnenmasse als 1989000000000000000000000000000 kg eintragen.
Das Massenfeld zählt bereits in 10²⁴ kg, die Sonne ist also 1989000 und die Erde 5,972. Die Multiplikation mit 10²⁴ übernimmt der Rechner.
Die ausgegebenen 31554188 als Tage lesen.
Die Umlaufzeit steht in Sekunden: 31554187,747615 s durch 86400 ergeben 365,21 Tage. Aus den 374221737,152048 s des Jupiter werden 4331,27 Tage.
Die große Halbachse ab der Oberfläche des Zentralkörpers messen.
Sie läuft ab dem Mittelpunkt des Zentralkörpers, wie jeder Abstand in diesem Gesetz. Die geostationäre Zeile nimmt deshalb 42200000 m und nicht eine Höhe über dem Boden.
Referenztabelle
| Große Halbachse, Zentralmasse | Bahn | Umlaufzeit (s) |
|---|---|---|
| 6780000, 5,972 | Niedriger Erdorbit, 0,064 Tage | 5555,992461 |
| 42200000, 5,972 | Geostationär, 0,999 Tage | 86275,162000 |
| 384400000, 5,972 | Der Mond, 27,45 Tage | 2371877,064000 |
| 149600000000, 1989000 | Die Erde um die Sonne, 365,21 Tage | 31554187,747615 |
| 778000000000, 1989000 | Jupiter um die Sonne, 4331,27 Tage | 374221737,152048 |
Fragen
Wie berechne ich die Umlaufzeit?
Verwende das dritte keplersche Gesetz: T = 2π × √(a³ / (G × M)), mit a in Metern, M in Kilogramm und G = 6,6743e-11. Die Erde bei 1,496e11 m um die Sonne mit 1,989e30 kg ergibt etwa 3,155e7 s, also 365,2 Tage. Das Massenfeld zählt hier in 10²⁴ kg, die Sonne trägst du also als 1989000 ein.
Was ist die Umlaufzeit?
Sie ist die Zeit, die ein Körper für eine vollständige Umrundung des umkreisten Objekts braucht. Sie hängt nur von der Größe der Bahn und der Masse des Zentralkörpers ab, nicht von der eigenen Masse des umlaufenden Körpers, solange diese im Vergleich klein ist.
Was ist die große Halbachse?
Die große Halbachse ist die Hälfte des längsten Durchmessers einer elliptischen Bahn und steht für die mittlere Größe der Bahn. Bei einer Kreisbahn ist sie einfach der Bahnradius, gemessen ab dem Mittelpunkt des Zentralkörpers. Gib sie in Metern ein: der Abstand Erde–Sonne beträgt etwa 1,496e11 m.
Spielt die Masse des umlaufenden Objekts eine Rolle?
Für die Standardform des dritten keplerschen Gesetzes nicht. Solange der umlaufende Körper viel leichter als die Zentralmasse ist, kürzt sich seine eigene Masse heraus und die Umlaufzeit hängt nur von Halbachse und Zentralmasse ab. Ein kleiner und ein großer Satellit in derselben Höhe haben dieselbe Umlaufzeit.
Warum dauern größere Bahnen länger?
Weil die Umlaufzeit mit der 3/2-Potenz der großen Halbachse wächst. Eine Verdopplung des Bahnabstands multipliziert die Umlaufzeit mit etwa 2,83, sodass eine doppelt so weite Bahn fast dreimal so lange dauert. Eine größere Zentralmasse wirkt umgekehrt: sie zieht stärker und verkürzt die Umlaufzeit.
Wie lese ich das Ergebnis in Tagen?
Teile die Sekunden durch 86400, die Anzahl der Sekunden eines Tages. Aus den 31554188 s der Erde werden 365,21 Tage, aus den 374221737 s des Jupiter 4331,27 Tage. Die Referenztabelle unten zeigt beides bereits nebeneinander.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.