Fall 1
- Vektor A — x
- 1
- Vektor A — y
- 0
- Vektor A — z
- 0
- Vektor B — x
- 0
- Vektor B — y
- 1
- Vektor B — z
- 0
90,0000°
Mit diesen Werten öffnenWinkel-zwischen-Vektoren-Rechner
90,0000°
Ergebnis: 90,0000 °Das Skalarprodukt durch die beiden Beträge teilen und den Arkuskosinus nehmen. Das Ergebnis steht in Grad und liegt immer zwischen 0 und 180: 0 heißt gleiche Richtung, 90 heißt senkrecht, 180 heißt entgegengesetzt. Die Länge der Vektoren spielt keine Rolle, nur ihre Richtung.
Beispiele durchgerechnet
Fall 2
- Vektor A — x
- 1
- Vektor A — y
- 1
- Vektor A — z
- 0
- Vektor B — x
- 1
- Vektor B — y
- 0
- Vektor B — z
- 0
45,0000°
Mit diesen Werten öffnenFall 3
- Vektor A — x
- 1
- Vektor A — y
- 2
- Vektor A — z
- 2
- Vektor B — x
- 2
- Vektor B — y
- 2
- Vektor B — z
- 1
27,2660°
Mit diesen Werten öffnenSo wird gerechnet
θ = arccos( (A · B) ÷ (|A| × |B|) ), in Grad
- SchrittDie drei Komponenten von Vektor A eintragen, dann die von Vektor B.
- SchrittDas Skalarprodukt wird durch das Produkt der beiden Beträge geteilt.
- ErgebnisDer Arkuskosinus davon ist der Winkel, umgerechnet in Grad.
Referenztabelle
| ax, ay, az, bx, by, bz | cos θ | Winkel |
|---|---|---|
| 1, 2, 3, 1, 2, 3 | 1 | 0,0000 |
| 2, 0, 0, 5, 0, 0 | 1 | 0,0000 |
| 1, 2, 2, 2, 2, 1 | 8 ÷ 9 | 27,2660 |
| 1, 1, 0, 1, 0, 0 | 1 ÷ √2 | 45,0000 |
| 1, 0, 0, 0, 1, 0 | 0 | 90,0000 |
| 1, 0, 0, -1, 0, 0 | −1 | 180,0000 |
Fragen
Wie berechne ich den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Das Skalarprodukt bilden, durch das Produkt der beiden Beträge teilen und den Arkuskosinus nehmen: θ = arccos( (A · B) ÷ (|A| × |B|) ). Für (1, 0, 0) und (0, 1, 0) ist das Skalarprodukt 0, also θ = arccos(0) = 90°.
Kommt das Ergebnis in Grad oder im Bogenmaß?
In Grad. Der Arkuskosinus selbst liefert Bogenmaß; dieser Rechner multipliziert vorher mit 180 ÷ π, sodass ein rechter Winkel als 90 dasteht und nicht als 1,5708.
In welchem Bereich kann der Winkel liegen?
Immer zwischen 0° und 180°. Es ist der vorzeichenlose Winkel und sagt daher nie, in welche Richtung du drehen müsstest.
Ändert die Länge der Vektoren den Winkel?
Nein. Die Formel teilt beide Beträge heraus, also zählt nur die Richtung. Eine Verdopplung von (1, 0, 0) auf (2, 0, 0) lässt den Winkel unverändert.
Warum liefert ein Nullvektor kein Ergebnis?
Der Nullvektor (0, 0, 0) hat keine Richtung, der Winkel zu ihm ist also undefiniert. Die Formel würde durch seinen Betrag null teilen, und der Rechner zeigt lieber kein Ergebnis als ein erfundenes.
Quellen und letzte Prüfung
Information, keine Fachberatung.